Differentialgleichung 1. Ordnung Hochspannungskabel Physik

26.01.2024, 12:40	Pinahoo2006	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung 1. Ordnung Hochspannungskabel Physik Meine Frage: Betrachten ein Hochspannungskabel mit gleichmäßig verteilter Masse $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ . Dieses ist an den Punkten A und B in gleicher Höhe befestigt. Welche Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ beschreibt dieses Kabel? Aus physikalischen Gründen gibt es eine Zugkraft T beim Punkt $\begin{eqnarray} (x, f(x)) \end{eqnarray}$ und eine konstante Zugkraft $\begin{eqnarray} \mathbf{F} \end{eqnarray}$ , die beim Punkt $\begin{eqnarray} (0, f(0)) \end{eqnarray}$ horizontal wirkt, und es gilt: $\begin{eqnarray} \|\mathbf{F}\|=\|\mathbf{T}\| \cdot \cos \varphi \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ Winkel zwischen den Vektoren $\begin{eqnarray} \mathbf{F} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbf{T} \end{eqnarray}$ ist. Die Gravitationskraft zeigt nach unten und ist proportional zur Länge $\begin{eqnarray} L(f, 0, x) \end{eqnarray}$ der Kurve $\begin{eqnarray} \{(t, f(t)): t \in[0, x]\} \end{eqnarray}$ . Für die im Punkt $\begin{eqnarray} (x, f(x)) \end{eqnarray}$ auf das Kabel wirkende Kraft $\begin{eqnarray} \mathbf{G} \end{eqnarray}$ gelten: $\begin{eqnarray} \|\mathbf{G}\|=m \cdot L(f, 0, x) \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} m>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|\mathbf{G}\|=\|\mathbf{T}\| \cdot \sin \varphi \end{eqnarray}$ . Zeige: (i) $\begin{eqnarray} f^{\prime}(x)=\tan \varphi=m \cdot L(f, 0, x) \cdot\|\mathbf{F}\|^{-1} \end{eqnarray}$ . (ii) $\begin{eqnarray} f^{\prime \prime}(x)=m \cdot\|\mathbf{F}\|^{-1} \cdot \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}} \end{eqnarray}$ (iii) Löse diese Differentialgleichung erster Ordnung für $\begin{eqnarray} h=f^{\prime} \end{eqnarray}$ , und berechne $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Zunächst einmal fehlt mir leider die Idee für die Funktion, welche das Kabel beschreibt. Kann mir da evtl. Jemand einen Tipp geben? Dann würde ich mich an den Aufgabenteilen versuchen und hier ggf. Nochmal konkret nachfragen.
26.01.2024, 12:42	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 1. Ordnung Hochspannungskabel Physik Ein durchhängendes Kabel beschreibt eine Kettenlinie. Viele Grüße Steffen
29.01.2024, 01:44	Pinahoo2006	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 1. Ordnung Hochspannungskabel Physik Danke schonmal. Dann beschreibt also die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=a \cdot cosh(\frac{x}{a}) \end{eqnarray}$ das Kabel? Wie allerdings soll ich dann bei (i) und (ii) zeigen, dass die erste und zweite Ableitung richtig sind? Denn $\begin{eqnarray} tan(\varphi) \end{eqnarray}$ ist ja gar nicht Ableitung vonm oben gegebenen $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ . Und welche Differentialgleichung ist denn bei (iii) gemeint?
29.01.2024, 10:40	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 1. Ordnung Hochspannungskabel Physik Zum Rest kann ich nichts sagen, frag vielleicht mal nebenan..
29.01.2024, 11:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwas lässt mich bei (ii) einheitenmäßig stutzen: $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ ist eine Funktion mit Argument $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ in Dimension Länge $\begin{eqnarray} [m] \end{eqnarray}$ , ebenso Funktionswert in Dimension Länge. $\begin{eqnarray} f'(x) \end{eqnarray}$ ist wertmäßig dimensionslos $\begin{eqnarray} [1] \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} f''(x) \end{eqnarray}$ hat Dimension 1/Länge $\begin{eqnarray} [m^{-1}] \end{eqnarray}$ , Rechts in (ii) hat $\begin{eqnarray} m \cdot\|\mathbf{F}\|^{-1} \cdot \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}} \end{eqnarray}$ aber die Einheit $\begin{eqnarray} kg\cdot \frac{1}{N}\cdot 1 = \frac{kg}{kg~m~s^{-2}} = m^{-1}s^2 \end{eqnarray}$ , da ist also irgendwas faul an dieser Gleichung. EDIT: Die Misere scheint aber weit vorher loszugehen, denn in $\begin{eqnarray} \|\mathbf{G}\|=m \cdot L(f, 0, x) \end{eqnarray}$ stimmen die Einheiten ja auch schon nicht. Irgendwie ist mir deshalb bei der ganzen Geschichte unwohl.

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