Stetigkeit über Berührungspunkt

29.01.2024, 14:27	Elfi1213	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit über Berührungspunkt Meine Frage: Hallo, ich hab eine Frage zur Definition von Stetigkeit die in meinem Skript steht. f:U nach R^n ist stetig, wenn für jeden Berührungspunkt a von A, auch f(a) Berührungspunkt von f(A) ist. Meine Ideen: So jetzt hab ich folgendes Verständnisproblem: Angenommen a sei Element von A, dann ist ja a auch automatisch Berührungspunkt von a, da a Element jeder Umgebung von A ist und somit Umgebung geschnitten mit A mindestens a enthalten muss. Aber wenn a element A, dann ist f(a) element von f(A) also automatisch auch Berührungspunkt f(A). Aber das würde ja auch gelten wenn an der Stelle a eine Unstätigkeitsstelle ist.
29.01.2024, 16:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Sache ist ungenau formuliert und tatsächlich so gemeint: Sei $\begin{eqnarray} a\in U \end{eqnarray}$ (für alle anderen macht die Betrachtung von $\begin{eqnarray} f(a) \end{eqnarray}$ ja auch gar keinen Sinn) und für JEDE (!) Teilmenge $\begin{eqnarray} A\subseteq U \end{eqnarray}$ , für die $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ Berührpunkt von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist, soll dieses " $\begin{eqnarray} f(a) \end{eqnarray}$ ist Berührpunkt von $\begin{eqnarray} f(A) \end{eqnarray}$ " gelten - also nicht nur für eine speziell ausgewählte Menge $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ (das wäre ja offenkundig sinnlos, denn da könnte man immer $\begin{eqnarray} A=\{a\} \end{eqnarray}$ wählen). In dieser Form ist es richtig und steht für Stetigkeit. P.S.: "Unstätigkeitsstelle" ist eines meiner Highlights des Tages.

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