Integral berechnen

01.02.2024, 09:55	reismensch	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral berechnen Hallo, es geht um das bestimmte Integral $\begin{eqnarray} \int_0^3(x^4-x^2) \cdot e^{-2x}~dx \end{eqnarray}$ Kurz und knapp gefragt: Sieht da jemand eine zumindest halbwegs effiziente Möglichkeit der Berechnung ohne mühsam viermal partiell integrieren zu müssen ?
01.02.2024, 10:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, mit etwas Erfahrung weiß man, dass die Stammfunktion die Struktur $\begin{eqnarray} F(x) = \left(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\right)\cdot e^{-2x} \end{eqnarray}$ aufweist. Dies differenzieren, dann Koeffizientenvergleich mit $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ führt vielleicht etwas (!) schneller zur Lösung als die von dir genannte partielle Integration.
02.02.2024, 17:28	reismensch	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort. Falls sich jemand etwas quälen mag und diese in meinen Augen eher unkreative Fleißaufgabe mal durchrechnen möchte, hier das Kontrollergebnis: $\begin{eqnarray} \int_0^3(x^4-x^2) \cdot e^{-2x}~dx=\frac{1}{2}-\frac{80}{e^6} \end{eqnarray}$
02.02.2024, 20:35	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral berechnen Man kann auch allgemein rechnen $\begin{eqnarray} \int_0^3 x^n e^{-2x} dx = \left [-\frac 1 2 x^n e^{-2x}\right]_0^3 + \frac n2 \int_0^3 x^{n-1} e^{-2x} dx = - \frac 1 2 e^6 3^n + \frac n 2 \int_0^3 x^{n-1} e^{-2x} dx \end{eqnarray}$ . Das kann man nun iterativ benutzen, um zu bekommen $\begin{eqnarray} \int_0^3 x^n e^{-2x} dx = - \frac 1 2 e^6 3^n + \frac n 2 \int_0^3 x^{n-1} e^{-2x} dx = - \frac 1 2 e^6 3^n + \frac n 2 \left ( - \frac 1 2 e^6 3^{n-1} + \frac {n-1} 2 \int_0^3 x^{n-2} e^{-2x} dx\right) \end{eqnarray}$ und so weiter zu bekommen. Mit $\begin{eqnarray} n =4 \end{eqnarray}$ bekommt man einen Wert, und mit $\begin{eqnarray} n =2 \end{eqnarray}$ den anderen. Ob das aber (bedeutend) schneller als partielle Integration ist, sei dahingestellt.
02.02.2024, 20:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Ermitteln der Stammfunktion $\begin{eqnarray} \int x^n e^{-\lambda x} ~ \dd x \end{eqnarray}$ lohnt auch ein Blick zur Erlang-Verteilung, der liefert direkt $\begin{eqnarray} \int x^n e^{-\lambda x} ~ \dd x = -\frac{n!}{\lambda^{n+1}} e^{-\lambda x}\sum_{k=0}^n \frac{(\lambda x)^k}{k!} + C \end{eqnarray}$ , sozusagen auf einer "abgebrochenen" Exponentialreihe basierend.
03.02.2024, 15:39	trancelocation	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral berechnen Hier ist noch eine Variante, mit einer tabellarischen Methode schneller partiell zu integrieren: $\begin{eqnarray} \begin{array}{ccc} (\pm) & \frac d{dx} & \int \\ (+) & (x^4 - x^2) & -\frac 12 e^{-2x} \\ (-) & (4x^3 - 2x) & \frac 14 e^{-2x} \\ (+) & (12x^2 - 2) & -\frac 18 e^{-2x} \\ (-) & 24x & \frac 1{16} e^{-2x} \\ (+) & 24 & -\frac 1{32} e^{-2x} \\\end{array} \end{eqnarray}$ Jetzt 2. und 3. Spalte multiplizieren und Vorzeichen der 1. Spalte beachten und alles addieren: $\begin{eqnarray} \begin{array}{rcl}\int (x^4-x^2)e^{-2x}\, dx & = & e^{-2x}\cdot \left(-\frac 12(x^4-x^2)-\frac 14(4x^3-2x)-\frac 18(12x^2-2)-\frac{24}{16}x - \frac{24}{32}\right) \\ & = & e^{-2x}\cdot \left(-\frac 12 x^4-x^3-x^2-x-\frac 12\right)\end{array} \end{eqnarray}$
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