Ungleichung mit Abrundungsklammer

07.02.2024, 12:27

Malcang

Ungleichung mit Abrundungsklammer

Da bin ich wieder Big Laugh

aus diesem Thread hatte ich eine Ungleichung mitgenommen und mit eurer Hilfe auch bewiesen. Ich würde euch gerne einmal meinen Beweis vorstellen, außerdem habe ich noch eine Frage, die aber allgemeiner Natur ist.
Erstmal Behauptung und Beweis:
[attach]57536[/attach]

Meine Frage ist nun: Ich habe ja geschrieben

Zitat:

Für jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} l>1 \end{eqnarray*}$ existieren natürliche Zahlen $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 \leq \beta<2^{b+1} \end{eqnarray*}$ so, dass....

Muss ich hier eigentlich eher so etwas schreiben:

Zitat:

Für jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} l>1 \end{eqnarray*}$ und jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ existieren natürliche Zahlen $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 \leq \beta<2^{b+1} \end{eqnarray*}$ so, dass....

Ich bin mir deshalb unsicher, weil ich ja beliebig viele $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ wählen kann und sich das $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ damit (eventuell) ändert. verwirrt

07.02.2024, 13:28

HAL 9000

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Ja schon das letztere, schließlich hängen $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ab.

----------------------------------------------------------------------

Ich hätte den Beweis konkreter angelegt, also weniger "es gibt $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ " als vielmehr gleich direkt deren Berechnung nennen:

Ausgehend von $\begin{eqnarray*} l,b \end{eqnarray*}$ betrachtet man $\begin{eqnarray*} \alpha:=\left\lfloor \frac{l-1}{2^{b+1}}\right\rfloor \end{eqnarray*}$ , dann ist aufgrund der Gaußklammer-Eigenschaften unmittelbar klar

$\begin{eqnarray*} \alpha \leq \frac{l-1}{2^{b+1}} < \alpha + 1 \end{eqnarray*}$ ,

mit $\begin{eqnarray*} 2^{b+1} \end{eqnarray*}$ multipliziert und nur die rechte Ungleichung betrachtet bedeutet das $\begin{eqnarray*} l-1 < \alpha\cdot 2^{b+1} + 2^{b+1} \end{eqnarray*}$ , und da das links eine ganze Zahl ist, gilt sogar

$\begin{eqnarray*} l-1 \leq \alpha\cdot 2^{b+1} + 2^{b+1}-1\quad (*) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} l-2^{b+1} \leq \alpha\cdot 2^{b+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{l}{2^{b+1}}-1 \leq \alpha \end{eqnarray*}$ ,

das ist die Behauptung.

P.S.: Der Knackpunkt ist ja, dass diese Behauptung nicht für beliebige reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ gilt, sondern Ganzzahligkeit gefordert wird, welche in Schritt (*) dann auch konkret im Beweis einfließt. Auf Voraussetzung $\begin{eqnarray*} l>1 \end{eqnarray*}$ kann zumindest hier verzichtet werden, die Aussage gilt für alle $\begin{eqnarray*} l\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

07.02.2024, 17:45

Malcang

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ja schon das letztere, schließlich hängen $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ab.

Danke HAL, das hat mir sehr geholfen!

Zitat:

Original von HAL 9000
Ich hätte den Beweis konkreter angelegt,
[...]

das ist die Behauptung.

Auch das ist ein sehr guter Hinweis. Ich hatte nämlich schon irgendwie den Verdact, dass ich mich hier in irgendwas verrenne. Deinen Beweis werde ich nochmal weiterverfolgen smile

Danke!

Zitat:

Original von HAL 9000
P.S.: Der Knackpunkt ist ja, dass diese Behauptung nicht für beliebige reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ gilt, sondern Ganzzahligkeit gefordert wird, welche in Schritt (*) dann auch konkret im Beweis einfließt. Auf Voraussetzung $\begin{eqnarray*} l>1 \end{eqnarray*}$ kann zumindest hier verzichtet werden, die Aussage gilt für alle $\begin{eqnarray*} l\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Ok, das sehe ich auch ein. Aber wenn $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ eine ganze Zahl sein soll, dann gilt nicht genau die Aussage die ich habe, sondern dann muss ich $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ebenfalls ganzzahlig wählen. Oder?

08.02.2024, 07:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malcang
Aber wenn $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ eine ganze Zahl sein soll, dann gilt nicht genau die Aussage die ich habe, sondern dann muss ich $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ebenfalls ganzzahlig wählen.

Wo in der Lemma-Aussage gibt es ein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ? Nur im Beweis. unglücklich

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