Differentialgleichung

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09.02.2024, 19:32

Paul6789

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Differentialgleichung

Meine Frage:
Bei der Aufgabenstellung ist eine Differentialgleichung gegeben mit
y?? verwirrt

x) + y

x) = g(x), y(0) = 0,y verwirrt

0) = 1,y?

0) = 0
und g(x) = 4x+1. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung habe ich schon berechnet, diese ist y(x)=c1+c2*cos(X)+c3*sin(x)+2*x^2+x. Nun soll ich für das Anfangswertproblem g(x)=1+4x, dieses in ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung überführen und den zugehörigen Anfangswert angeben. Kann mir da vielleicht jemand helfen wie ich das mache?

Meine Ideen:
Ich habe mir überlegt das man das Anfangswertproblem als y(x) schreibt. Da wäre die erste Ableitung y'(x)=4. Dann hätte ich das Differentialgleichungssystem y(x)=4x+1 und y'(x)=4. Aber ich weiß halt nicht ob man so vorgeht oder doch anders.

09.02.2024, 20:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von Paul6789
y?? verwirrt

x) + y

x) = g(x), y(0) = 0,y verwirrt

0) = 1,y?

0) = 0

Ich kann nur raten, dass du damit $\begin{eqnarray*} y'''(x) + y'(x) = g(x),~y(0) = 0,~y'(0) = 1,~y''(0) = 0 \end{eqnarray*}$ meinst.

Zitat:

Original von Paul6789
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung habe ich schon berechnet, diese ist y(x)=c1+c2*cos(X)+c3*sin(x)+2*x^2+x.

Da ja die drei Anfangswerte $\begin{eqnarray*} y(0) = 0,~y'(0) = 1,~y''(0) = 0 \end{eqnarray*}$ gegeben sind nehme ich an, du sollst auch das AWP tatsächlich lösen - sprich: Aus diesen drei Anfangswerten die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} c_1,c_2,c_3 \end{eqnarray*}$ berechnen. Also setz doch $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ in deine allgemeine Lösungsfunktion sowie deren erste beide Ableitungen ein, da bekommst ein LGLS für diese drei gesuchten Koeffizienten!

Zitat:

Original von Paul6789
Nun soll ich für das Anfangswertproblem g(x)=1+4x, dieses in ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung überführen und den zugehörigen Anfangswert angeben. Kann mir da vielleicht jemand helfen wie ich das mache?

Was das jetzt noch groß bringen soll, wo du die DGL ja schon gelöst hast? Nun, man kann aus jeder reellen DGL $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ter Ordnung ein DGL-System erster Ordnung für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensional vektorwertige Zielfunktion machen, indem man einfach die reelle Funktion und ihren ersten $\begin{eqnarray*} (n-1) \end{eqnarray*}$ Ableitungen in den Vektor packt - hier konkret:

$\begin{eqnarray*} z = \begin{pmatrix} y\\ y'\\ y''\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ führt zu $\begin{eqnarray*} z' = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0\end{pmatrix}\cdot z + \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ g(x)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit Startvektor $\begin{eqnarray*} z(0) = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Also nix Rechnung, sondern nur sorgfältig gewählte Zuordnungen.

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