Differentialgleichung vereinfachen

27.02.2024, 10:15

vdeppe

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Differentialgleichung vereinfachen

Hallo,

Ich bräuchte Hilfe zu der Aufgabe im Anhang. Ich verstehe schon nicht wofür die Konstanten E1,E2,n1,n2 stehen. Vermutung wäre die richtigen Werte dafür einsetzen (nur welche?) Vielleicht fallen die Konstanten auch ganz weg? Wie man sieht hab ich wirklich keine Ahnung. Über Tipps usw würde ich mich freuen.

27.02.2024, 10:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von vdeppe
Ich verstehe schon nicht wofür die Konstanten E1,E2,n1,n2 stehen.

Ich auch nicht. Allerdings ist es zunächst auch nicht wichtig, sondern nur die erwähnte Tatsache, dass es Konstanten sind, d.h. nicht von Zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ abhängig.

In dem Sinne handelt es sich im Fall $\begin{eqnarray*} \varepsilon(t)=\mbox{const} \end{eqnarray*}$ dann schlicht um eine homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, d.h. $\begin{eqnarray*} \ddot{\sigma} + a\cdot \dot{\sigma} + b\cdot \sigma = 0 \end{eqnarray*}$ . Und deren Lösungstheorie hast du womöglich in der Vorlesung kennengelernt, oder?

27.02.2024, 11:32

vdeppe

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Danke, das auflösen bekomme ich hin.

27.02.2024, 12:59

IfindU

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RE: Wie wird diese Differentialgleichung vereinfacht?
https://en.wikipedia.org/wiki/Viscoelasticity
Das E ist der "Strain" und das $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ die Viskosität.

Aber wie HAL bemerkt hat, ist es aus mathematischer Sicht erst einmal egal, kann aber helfen Ergebnisse zu interpretieren.

27.02.2024, 13:09

HAL 9000

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Man kann zumindest schon folgendes sagen bei Betrachtung der charakteristischen Gleichung:

Sind $\begin{eqnarray*} E_1,E_2,\eta_1,\eta_2 \end{eqnarray*}$ sämtlich positiv (was man bei einem solchen physikalischem Hintergrund wohl annehmen kann), dann sind beide Lösungen der charakteristischen Gleichung reell negativ und voneinander verschieden. Das leitet sich ab aus der Diskriminante

$\begin{eqnarray*} D = \frac{1}{4} \left( \frac{E_1+E_2}{\eta_2} + \frac{E_1}{\eta_1} \right)^2 - \frac{E_1E_2}{\eta_1\eta_2} \stackrel{!}{=} \frac{1}{4} \left( \frac{E_1+E_2}{\eta_2} - \frac{E_1}{\eta_1} \right)^2 + \frac{E_1^2}{\eta_1\eta_2} > 0 \end{eqnarray*}$ .

D.h., kein Schwingungsverhalten der Lösung.

27.02.2024, 13:47

vdeppe

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Für c) wäre dann, dass die Grenzen 0 und 3,5 sind und die Lösung aus b) die Grenzen nicht überschreiten darf, oder?

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27.02.2024, 14:52

HAL 9000

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Ich denke du versteifst dich zu sehr auf den dort exemplarisch angegeben Graphen - über den allgemeinen Fall sagt der herzlich wenig aus (ich betrachte ein wenig argwöhnisch den nahezu linearen Verlauf im hinteren Teil des Graphen - sehr untypisch nach einem so raschen Abfall zu Beginn):

Die obere Zeitgrenze 3,5 ist vollkommen willkürlich gewählt und rührt in keinster Weise von der DGL her, auch dann nicht, wenn die Parameter bekannt wären.

27.02.2024, 17:50

vdeppe

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Dann verstehe ich irgendwie nicht was die in der c) wollen. Vermutung wäre, dass die sich ausschließlich auf b) bezieht. Da hat man in der Wurzel stehen a^2/4 - b. Und ich schätze man muss dann eine Regel angeben, so dass das in der Wurzel nicht negativ wird?

28.02.2024, 09:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von vdeppe
Und ich schätze man muss dann eine Regel angeben, so dass das in der Wurzel nicht negativ wird?

Nun, diese Frage hatte ich ja oben schon beantwortet.

28.02.2024, 10:30

IfindU

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Zu c): Man wird so Sachen hören wollen wie Dirchlet- oder Neumann-boundary condition.

Die Frage wäre, welche Anfangswerte du benötigst um die Differentialgleichung zu lösen. Ist es $\begin{eqnarray*} \sigma(0) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sigma'(0) \end{eqnarray*}$ etc.

28.02.2024, 10:56

vdeppe

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Ich schätze mal o(0) = 50, da es der einzige Wert ist, der sich genau vom Graphen ablesen lässt.

28.02.2024, 10:59

IfindU

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Wie HAL gesagt hat, löse dich vom Bild. Du hast eine Differentialgleichung. Du hast diese gelöst und es sind unendlich viele Lösungen rausgekommen. Welche Werte musst du kennen (am besten in der $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ), damit es eindeutig wird?

28.02.2024, 11:57

vdeppe

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Da bin ich etwas überfragt. Kann ich mir nicht einfach einen Wert ausdenken, wie o(0) = 50 ?

28.02.2024, 12:04

vdeppe

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Oder einfach, dass E1,E2 usw größer 0 sein müssen?

28.02.2024, 12:48

IfindU

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Dann noch einen Schritt zurück: Was hast du bei b) herausbekommen?

28.02.2024, 13:01

vdeppe

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Das untere in der Wurzel. Musst nur a1 mit a und a2 mit b ersetzen.

28.02.2024, 13:22

IfindU

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Das sind noch nicht Lösungen. Lösungen in den 3 Fällen werden weiter unten behandelt (hier im Link Uni Wien).

Die Lösungen hängen von $\begin{eqnarray*} C_1, C_2 \end{eqnarray*}$ ab. Die sind vollkommen unabhängig von der Differentialgleichung selbst. Die Werte werden von den Randwerten/Boundary Conditions festgelegt. Bsp.

Im Falle von $\begin{eqnarray*} \frac{ a_1^2} 4 - a_2 = 0 \end{eqnarray*}$ ist die allgemeine Lösung gegeben durch $\begin{eqnarray*} \sigma(x) = C_1 e^{ \lambda x} + C_2 x e^{ \lambda x} \end{eqnarray*}$ . Wenn man nun den Randwert $\begin{eqnarray*} \sigma(0) \end{eqnarray*}$ fixiert, folgt mit einseten direkt, dass $\begin{eqnarray*} \sigma(0) = C_1 \end{eqnarray*}$ sein muss. Jetzt ist noch $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ beliebig. Wenn man $\begin{eqnarray*} \sigma'(0) \end{eqnarray*}$ festlegt, folgt dass $\begin{eqnarray*} \sigma'(0) = \lambda C_1 + C_2 \end{eqnarray*}$ sein muss. Und das legt eindeutig $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ fest. D.h. mit den Randwerten von $\begin{eqnarray*} \sigma(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma'(0) \end{eqnarray*}$ bekommen wir hier eine eindeutige Lösung.

Das sind nicht die einzigen Werte, für die man eine eindeutige Lösung bekommt. Siehe auch Cauchy Boundary Condition

Du kannst erstmal das nachrechnen und dann schauen, ob die anderen Fälle auch die Cauchy-Rand Bedinungen festgelegt werden, oder man etwas anders braucht.

28.02.2024, 13:36

HAL 9000

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Ich frage mich, ob vdeppe überhaupt davon Notiz genommen hat, dass wir hier aufgrund der Begründung 27.2., 13:09 uns klar im Fall

$\begin{eqnarray*} \sigma(t) = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t} \end{eqnarray*}$

mit negativ reellen $\begin{eqnarray*} \lambda_1\neq \lambda_2 \end{eqnarray*}$ befinden. Eine Betrachtung der anderen beiden Fälle ist hier nicht nötig - zumindest falls meine obige Annahme zur Positivität der vier Parameter zutrifft.

Ist hingegen $\begin{eqnarray*} E_1=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} E_2=0 \end{eqnarray*}$ (aber nicht beides) zugelassen, dann sieht die Sache etwas anders aus: Dann ist nur noch eins der beiden $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ negativ und das andere gleich Null.

28.02.2024, 17:58

vdeppe

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Das würde heißen, dass gilt:

a1^2 / 4 - a2 = 0

Aber wie komme ich auf 0? Wenn ich die Terme einsetze klappt das nicht.

28.02.2024, 22:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich frage mich, ob vdeppe überhaupt davon Notiz genommen hat

Damit habe ich jetzt die Antwort, und sie lautet "Nein".

28.02.2024, 22:52

vdeppe

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Weil der andere Nutzer diesen Fall erwähnt hatte. Da hab ich mich gewundert, weil das nicht passt. Aber ist egal, die Aufgabe ist gelöst. Danke für die Hilfe.

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