Vollständige Induktion

29.02.2024, 20:58	Aljott	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Meine Frage: Hallo, ich habe eine Behauptung mittels vollständiger Induktion zu zeigen. Die Aufgabenstellung und meine Lösung sind aus dem hochgeladenen Bild zu entnehmen. Meine Ideen: Ich glaube, die Aufgabe gelöst zu haben, bin mir aber nicht sicher und vielleicht ist meine Lösung auch zu umständlich. Feedback sehnlichst erwünscht. Den letzten Schritt habe ich arg abgekürzt, weil das Schreiben mit der Maus zu anstrengend war. Bitte um Nachsicht. Vielen Dank [attach]57598[/attach]
29.02.2024, 22:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, haut hin. Schaut man genau auf die Beweisschritte, dann kann man sich auch auf $\begin{eqnarray} k=3m+1 \end{eqnarray}$ festlegen, denn $\begin{eqnarray} k=3m+2 \end{eqnarray}$ kommt gar nicht vor. (Genau genommen ist sogar $\begin{eqnarray} k=18m+1 \end{eqnarray}$ , aber wir wollen es ja nicht übertreiben.)
29.02.2024, 23:03	Aljott	Auf diesen Beitrag antworten »
Herzlichen Dank !
01.03.2024, 00:06	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein paar Kleinigkeiten: Dein Induktionsanfang für die Aussage $\begin{eqnarray} 3^{n+2}\nmid2^{3^{n}}+1,\; n\geq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} 27\nmid 9 \end{eqnarray}$ , nicht $\begin{eqnarray} 27\nmid 8 \end{eqnarray}$ (Ich hoffe auch, dein teilt-nicht-Zeichen wird gelesen als 27 teilt nicht 9, denn dein Durchstreichen geht von oben nach unten ). Außerdem ist so geschrieben deine Induktionsvoraussetzung falsch. $\begin{eqnarray} 2^{3^{n}}+1=k\cdot 3^{n+1}, \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k\in M:=\{3m+1,3m+2\|m\in\mathbb N\} \end{eqnarray}$ bedeutet, dass die Gleichung für alle $\begin{eqnarray} k\in M \end{eqnarray}$ gilt. Offensichtlich ist das nicht der Fall. Was du sagen willst, ist, dass es ein solches $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ gibt und gleichzeitig, das dieses $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ von besonderer Form ist (wegen der zweiten Aussage $\begin{eqnarray} 3^{n+2}\nmid2^{3^{n}}+1,\; n\geq 1 \end{eqnarray}$ ).

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