Grenzwert rekursive Folge

03.03.2024, 16:29	Succinylcholin	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert rekursive Folge Hallo, ich habe Kapitel 4 von Otto Forsters Analysis I über Folgen und Grenzwerte durchgearbeitet und nun versuche ich mich an Aufgabe 1. [attach]57606[/attach] Um diese Aufgabe zu lösen, muss man meiner Meinung nach zunächst die rekursive Folge umwandeln in eine explizite Form. Ich habe die Folgenglieder bis $\begin{eqnarray} a_7 \end{eqnarray}$ durchgerechnet und kam zu dem Schluss, dass der Grenzwert bei $\begin{eqnarray} \frac{2}{3}b + \frac{1}{3}a \end{eqnarray}$ sein muss. Allerdings fällt es mir schwer eine explizite Form zu finden. Meine Frage: Ist das überhaupt der richtige Ansatz oder bin ich auf dem Holzweg, dass man die Folge in eine explizite Form bringen muss ?
03.03.2024, 18:12	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Antwort auf deine Frage lautet ja, das ist der richtige Ansatz. Betrachte die Differenz aufeinander folgender Folgenglieder und wende darauf die Bildungsvorschrift der rekursiven Folge bis zum Ende an. Bilde aus dem erhaltenen Ergebnis der Differenz aufeinander folgender Folgenglieder eine Teleskopsumme, um eine explizite Folgenvorschrift zu erhalten. Der Rest sollte Routine sein. P.s. dein Grenzwert stimmt.
03.03.2024, 18:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann das ganze auch als spezielle lineare Differenzengleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ansehen: Die zugehörige charakteristische Gleichung $\begin{eqnarray} \lambda^2 - \frac{1}{2}\lambda - \frac{1}{2} = 0 \end{eqnarray}$ hat die beiden Lösungen $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ , demzufolge die allgemeine Lösung die Gestalt $\begin{eqnarray} a_n = C_1 + C_2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n \end{eqnarray}$ Über die Anfangswerte $\begin{eqnarray} a_0=a \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} a_1=b \end{eqnarray}$ kommt man zu $\begin{eqnarray} C_1 = \frac{a+2b}{3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C_2 = \frac{2a-2b}{3} \end{eqnarray}$ .

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