Supremum, Grenzwert, Folgen etc

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08.03.2024, 20:34	TerolixTero	Auf diesen Beitrag antworten »
Supremum, Grenzwert, Folgen etc Meine Frage: Ich hab hier folgenden Beweis und wollte wissen, ob ich das richtig gemacht habe. Satz: Sei M eine nichtleere & nach oben beschränkte Teilmenge von R (reele Zahlen). Zu zeigen: Es gibt eine Zahlenfolge (x_n) in M mit x_n -> sup(M). Beweis. Zuerst ist zu zeigen, das sup(M) existiert: Da M nichtleer und nach oben beschränkt ist, so wie auch eine Teilmenge des vollständigen Körpers K = R ist, existiert nach dem Vollständigkeitsaxiom das Supremum von M. Nun ist zu zeigen, das für eine Zahlenfolge (x_n) mit n aus den natürlichen Zahlen N, x_n -> sup(M) für n -> unendlich gilt: Sei M_n := {m_n \| n aus N} die Menge der Glieder, so gilt sup(M_n) = sup(M). Im folgenden definiere ich sup(M) := s. Sei x > 0 beliebig, so ist s - x aus R kein Supremum / keine obere Schranke, also muss es eine natürliche Zahl n? aus N geben, sodass für alle darauffolgenden natürlichen Zahlen (n > n?) m_n > s - x ist. Also gilt für n > n? damit: s - x < m_n < s. Damit gilt insgesamt nach äquivalenter Umformung: 0 < m_n - s < x => \|m_n - s\| < x für alle n > n?. Nach Definition ist also lim x_n = s = sup(M). Meine Ideen: s.o.
08.03.2024, 22:32	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Von der Reihenfolge etwas schräg. Warum definierst du $\begin{eqnarray} M_n \end{eqnarray}$ bevor du $\begin{eqnarray} m_n \end{eqnarray}$ (in der Aufgabenstellung war noch nach $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ gefragt ) konstruierst? Außerdem kannst du $\begin{eqnarray} x = \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ wählen, dann ist jedem klar, was du erreichen möchtest.
08.03.2024, 22:44	TerolixTero	Auf diesen Beitrag antworten »
Dazu Oh ja also m_n = x_n (Hab das bischen vermischt srry) Ist der Beweis mittels dieser Vorgehensweise aber korrekt?
08.03.2024, 23:05	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, die Idee der Konstruktion von $\begin{eqnarray} m_n \end{eqnarray}$ ist dir klar. Wie gesagt, solltest du meine Hinweise noch berücksichtigen. In Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} x=\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ findest du immer ein $\begin{eqnarray} m_n \end{eqnarray}$ zwischen $\begin{eqnarray} s - \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ . Das definiert deine Folge. Durch die spezielle Wahl von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und den Umformungen am Ende (du schreibst => und sprichst von äquivalenter Umformung... das passt noch nicht ganz) erhälst du dann automatisch die Konvergenz.
09.03.2024, 00:23	TerolixTero	Auf diesen Beitrag antworten »
dazu Wie kommst Du aber auf x = 1/n ?
09.03.2024, 10:27	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nutze den Satz: Sei $\begin{eqnarray} {\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {N} }} \end{eqnarray}$ eine Nullfolge und $\begin{eqnarray} {\displaystyle \|a_{n}-a\|\leq c_{n}} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} {\displaystyle n\in \mathbb {N} } \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a} \end{eqnarray}$ . Und ich wähle eben $\begin{eqnarray} c_{n}=\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ , was in deinem Fall $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist.
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09.03.2024, 12:49	TerolixTero	Auf diesen Beitrag antworten »
dazu Okay, also wähle ich x = 1/n. Dann gilt ja s - 1/n < m_n < s und das ist äquivalent zu 0 < m_n - s < 1/n. Damit haben wir ein Epsilon µ = x =1/n gefunden, welche eine positive Zahl ist, da 1/n > 0 ist und nach Definition ist dann lim m_n = s, da ja für alle n > N (N ist ja dieser spezielle Index) damit \|m_n - s\| < µ = 1/n gilt. Ist das richtig so?
09.03.2024, 14:02	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Eher so: Aufgrund des Supremumsprinzips existiert für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} m_n\in M \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} s-\frac{1}{n}< m_n< s \end{eqnarray}$ . Damit definierst du deine Folge $\begin{eqnarray} m_n \end{eqnarray}$ . Weiterhin folgt daraus durch Umformung $\begin{eqnarray} 0<\|m_n-s\|=m_n-s<\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ Nullfolge, folgt daraus direkt $\begin{eqnarray} m_n\to s \end{eqnarray}$ . Das wars schon. Willst du das epsilon-Kriterium heranziehen, gibt es für beliebiges $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} N \in \mathbb N \end{eqnarray}$ für das $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}<\epsilon \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \geq N \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ Nullfolge. Aufgrund der Konstruktion von $\begin{eqnarray} m_n \end{eqnarray}$ gilt das epsilon-Kriterium für die Folge $\begin{eqnarray} m_n \end{eqnarray}$ für dasselbe $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ wie für $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ . Allerdings brauchst du diese Argumentation hier gar nicht mehr, weil sicherlich bekannt sein sollte, dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ Nullfolge ist.
09.03.2024, 14:25	TerolixTero	Auf diesen Beitrag antworten »
geklärt Super. Ich danke Dir!

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