Beweis Basis eines Quotientenraums

12.04.2024, 20:42	soalraff	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Basis eines Quotientenraums Meine Frage: Sei V =Q^4 als Q-Vektorraum zu betrachten, Wir definieren den Q-Untervektorraum W := ({(1,2,3,4),(4,3,2,1)}) von V. Beweisen Sie, dass B_V/W := ([(1,0,0,0)],[0,1,0,0]) eine Basis des Quotientenvektorraums V/W ist, wobei für v in V, [v] inV/W die Kongruenzklasse modulo W des Vektors v bezeichnet. Meine Ideen: Um zu beweisen, dass es eine Basis ist, muss man ja zeigen, dass es ein Erzeugendensystem mit lin. unabhängigen Vektoren ist. Die lineare Unabhängigkeit der Basis ist ja logisch, ich hab leider nur keine Ahnung wie ich zeigen soll, dass die Vektoren ein Erzeugendensystem sind. Dafür müsste man ja zeigen, dass jeder Vektor aus V/W durch eine Linearkombination dieser beiden Vektoren der Basis dargestellt werden können, dabei bräuchte ich aber Hilfe wie genau man das zeigen kann, wäre super lieb, wenn mir einer von euch da unter die Arme greifen könnte.
13.04.2024, 09:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Richtigkeit spricht schon mal, dass aus dim(W)=2 folgt dim(V/W)=dim(V)-dim(W)=4-2=2. Kann man den Unterraum W einfach an beliebige linear unabhängige Vektoren von V addieren, um den Quotientenraum zu erhalten? Oder muss man noch mehr tun? Ich weiß es nicht. Ganz sicher ist das Problem schon bis auf Isomorphie gelöst.
13.04.2024, 14:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Vektoren $\begin{align} e_1 = \left( 1,0,0,0 \right) \, , \ e_2 = \left( 0,1,0,0 \right) \, , \ e_3 = \left( 1,2,3,4 \right) \, , \ e_4 = \left( 4,3,2,1 \right) \end{align}$ bilden eine Basis von $\begin{align} V = \mathbb{Q}^4 \end{align}$ . (Es genügt zu zeigen, daß sie linear unabhängig sind. Dafür kann man zum Beispiel ihre Determinante berechnen, oder man zeigt direkt, daß sich der Nullvektor nur trivial durch sie linear kombinieren läßt, indem man das entsprechende lineare Gleichungssystem löst.) Ist nun $\begin{align} [v] \in V/W \end{align}$ die von $\begin{align} v \in V \end{align}$ erzeugte Restklasse, so existieren eindeutig bestimmte $\begin{align} \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 \in \mathbb{Q} \end{align}$ mit $\begin{align} v = \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3 + \alpha_4 e_4 \end{align}$ Modulo $\begin{align} W \end{align}$ werden die Anteile von $\begin{align} e_3 \end{align}$ und $\begin{align} e_4 \end{align}$ verschluckt. Es folgt $\begin{align} [v] = \alpha_1 [e_1] + \alpha_2 [e_2] \end{align}$ Wenn man das Ganze einmal auf den eigentlichen Kern reduziert, dann ist der die Basiseigenschaft der Vektoren $\begin{align} e_i \end{align}$ für $\begin{align} V \end{align}$ . (Der Basisergänzungssatz lehrt gerade, daß man jede Basis eines Unterraums zu einer Basis des Gesamtraums ergänzen kann. Insofern ist die hier vorliegende Situation typisch.)

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