Folgen und Reihen, Aufgabe

07.03.2007, 13:28

Moe_HH

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Folgen und Reihen, Aufgabe

Ich habe folgende Aufgabe, welche mir Kopfzerbrechen bereitet... wahrscheinlich fehlt mir auch nur die richtige Formel..
Also:
Im Laufe des Jahres 1999 wurden in einer Kohlegrube 50 000 t Kohle abgebaut. Geologische Untersuchungen hatten ergeben, dass an diesem Standort insgesamt ca. 2 000 000 t Kohle abgebaut werden könnten.
Man beabsichtigt die den Abbau jährlich um 5 000 t zu steigern, wielange würde es dauern, den gesamten Kohlevorrat abzubauen (2 000 000 t)

Ich habe "herrausgefunden" :
a0 = 50 000 t
an = 2 000 000 t
d = 5 000 t
n= ?!

07.03.2007, 13:43

uwe-b

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Also, der Abbau der Kohle kann linear beschrieben werden, denn:

$\begin{eqnarray*} a_0 = 50000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 = 55000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2 = 60000 \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} a_n = 50000 + 5000n \end{eqnarray*}$

Für den gesamten Abbau nach $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ Jahren gilt:

$\begin{eqnarray*} g_i=\sum\limits_{n=0}^{i-1} a_n = \sum\limits_{n=0}^{i-1} a_n = \sum\limits_{n=0}^{i-1} 50000 + 5000n = 2500i(i + 19) \end{eqnarray*}$ .

Also wann ist $\begin{eqnarray*} g_i = 2000000 \end{eqnarray*}$ ?

07.03.2007, 13:45

zt

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$\begin{eqnarray*} a_1=5\cdot{10^4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2=5\cdot{10^4}+5\cdot{10^3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_3=5\cdot{10^4}+5\cdot{10^3}+5\cdot{10^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=5\cdot{10^4}+(n-1)\left(5\cdot{10^3}\right) \end{eqnarray*}$

Und jetzt nach $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ lösen:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot{10^6}=\sum_{n=1}^m~{5\cdot{10^4}+(n-1)\left(5\cdot{10^3}\right)} \end{eqnarray*}$

07.03.2007, 13:56

Moe_HH

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Gibt es keine konkrete Formel, mit der man $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ausrechnen kann?!
Also: $\begin{eqnarray*} n= ....... \end{eqnarray*}$

07.03.2007, 13:58

uwe-b

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Hab bei mir nen Fehler gefunden und geändert....

07.03.2007, 14:00

zt

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Zitat:

Original von Moe_HH
Gibt es keine konkrete Formel, mit der man $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ausrechnen kann?!
Also: $\begin{eqnarray*} n= ....... \end{eqnarray*}$

Die Formel sollst du dir ja herleiten. (wie von uwe-b und mir schon getan.)
Jetzt musst du nur alles zusammenrechnen und mit 2 Mio. gleichsetzen.

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07.03.2007, 14:11

Moe_HH

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Tut mir leid, ich schein irgendwie auf dem Schlauch zu stehen... aber was meinst du mit $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ ...
und $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ steht hier für Jahre, oder?!
Sorry, aber wir hatten diese Begriffe scheinbar noch net in der Schule...

07.03.2007, 14:17

uwe-b

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Tut mir leid, hab statt i, j geschrieben... habs geändert smile

smile

07.03.2007, 14:22

Moe_HH

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Aber mit $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ meinst du eigentlich schon das "Gleiche in Grün" wie $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , oder? Ich werde mich jetzt mal ans Rechnen begeben... danke schon einmal.. wenn´s klappt gibt´s einen noch größeren Dank! Big Laugh

Big Laugh

07.03.2007, 14:25

uwe-b

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n und i haben nicht die gleiche Bedeutung:

i: Wieviel gesamt in i Jahren abbgebaut wurde

n: Wieviel im n -ten Jahr abgebaut wurde...

07.03.2007, 14:28

Moe_HH

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Ich muss denn jetzt ja nurnoch deine Formel nach $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ umformen, oder?

07.03.2007, 14:41

Moe_HH

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Ich muss gestehen, dass mir das leider irgendwie nicht weiter hilft.. ich will ja "nur" ausrechnen, wielange es dauert, die 2 000 000 t abzubauen, wenn jährlich die Abbaumenge um 5 000 t gesteigert wird. Gestartet wird bei 50 000 t ...

07.03.2007, 14:52

uwe-b

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Also:

t_0 = 0 : 50000 t abgebaut, also insgesamt 50000

t_1 = 1 : 55000t abgebaut, also insgesamt 105000 t sind abgebaut.

usw.

Die Menge, die im n-ten Jahr abgebaut wird, kann man durch eine lineare Fkt. beschreiben.

Dann müssen die Summe über den gesamten Zeitraum gebildet werden.

07.03.2007, 14:59

uwe-b

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Ne andere Möglichkeit gibt es noch:

Du kannst z.B. den gesamten Abbau durch eine Fkt. beschreiben.

Also:

Ansatz: $\begin{eqnarray*} f(x) = ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$

Angaben:

$\begin{eqnarray*} (1,50000) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2,105000) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3,165000) \end{eqnarray*}$

dann:

$\begin{eqnarray*} f(1) = 50000 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(2) = 105000 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(3) = 165000 \end{eqnarray*}$

Dann $\begin{eqnarray*} f(x) = 2500x^2+47500x \end{eqnarray*}$ dies kommt auch für die Summe s.o. raus...

diese beschreibt den gesamten Abbau ... dann

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2000000 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=? \end{eqnarray*}$

07.03.2007, 16:06

Moe_HH

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Ok, danke nochmals für die Mühen und die Infos Big Laugh

Big Laugh

Moritz

07.03.2007, 16:20

Koslowski

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RE: Folgen und Reihen Aufgabe, bitte um Hilfe... ;)

Zitat:

Original von Moe_HH
Ich habe folgende Aufgabe, welche mir Kopfzerbrechen bereitet... wahrscheinlich fehlt mir auch nur die richtige Formel..
Also:
Im Laufe des Jahres 1999 wurden in einer Kohlegrube 50 000 t Kohle abgebaut. Geologische Untersuchungen hatten ergeben, dass an diesem Standort insgesamt ca. 2 000 000 t Kohle abgebaut werden könnten.
Man beabsichtigt die den Abbau jährlich um 5 000 t zu steigern, wielange würde es dauern, den gesamten Kohlevorrat abzubauen (2 000 000 t)

Ich habe "herrausgefunden" :
a0 = 50 000 t
an = 2 000 000 t
d = 5 000 t
n= ?!

So sieht's aus:
$\begin{eqnarray*} a_1=50000, a_n=a_1+(n-1)d, d=5000 \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} K=2000000 \end{eqnarray*}$

Dann gilt es folgende Gleichung nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aufzulösen:

$\begin{eqnarray*} K=\sum_{k=1}^n a_k=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\frac{d}{2}n^2+(a_1-\frac{d}{2})n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2K}{d}+\left(\frac{\frac{2a_1}{d}-1}{2}\right)^2=\left(n+\frac{\frac{2a_1}{d}-1}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Einsetzen liefert dann (wir vernachlässigen die negative Lösung der quadratischen Gleichung):

$\begin{eqnarray*} n=-\frac{19}{2}+\sqrt{800+\left(\frac{19}{2}\right)^2} \end{eqnarray*}$

07.03.2007, 16:58

zt

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LOOOL, Hast du Langeweile? Big Laugh

Big Laugh

Die Lösung steht schon im 2. und 3. Beitrag. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.03.2007, 00:08

Moe_HH

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nun kann ich endlich ausrechnen, wielange das dauert... aber ich kann dir leider nicht ganz folgen, mir sind einige Schritte nicht ganz klar.. und das hilft mir dann leider auch net weiter, da meine Lehrer wollen, dass ich das verstanden habe...
Dies ist deine Formel:

$\begin{eqnarray*} K = \sum_{k=1}^n~a_k = \frac{n}{2} (a_1+a_n) = \frac{d}{2} n^{2} + (a_1- \frac{d}{2} ) n \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf den Teil nach dem letztem $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ Zeichen?!
$\begin{eqnarray*} ... = \frac{d}{2} n^{2} + (a_1- \frac{d}{2} ) n \end{eqnarray*}$

Aber trotzdem danke, dass auch du dir die Zeit nimmst..

08.03.2007, 08:16

klarsoweit

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Einfach in $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} (a_1+a_n) \end{eqnarray*}$ die Beziehung $\begin{eqnarray*} a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \end{eqnarray*}$ einsetzen:
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \cdot (a_1+a_n) = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_1 + (n-1) \cdot d) = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + dn - d) = \frac{d}{2} n^{2} + n \cdot (a_1 - \frac{d}{2}) \end{eqnarray*}$

08.03.2007, 10:22

Moe_HH

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danke dir

Big Laugh

Genau diesen Gedanken hatte ich auch schon, habe denn aber anscheinend einen Fehler bei der umformung gemacht!

Kannst du bitte nochmal die allgemeine Form von
$\begin{eqnarray*} n = - \frac{19}{2} + \sqrt{800 + (\frac{19}{2})^{2} } \end{eqnarray*}$
reinschreiben.. sodass ich deine Gedanken besser nachvollziehen kann... Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.03.2007, 11:15

klarsoweit

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Du mußt doch jetzt die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{2} n^{2} + n \cdot (a_1 - \frac{d}{2}) = 2000000 \end{eqnarray*}$ lösen.

Wenn du da noch für d und a_1 die entsprechenden einsetzst, dann hast du eine normale quadratische Gleichung.

08.03.2007, 13:45

Koslowski

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Betrachte:

$\begin{eqnarray*} \frac{2K}{d}+\left(\frac{\frac{2a_1}{d}-1}{2}\right)^2=\left(n+\frac{\frac{2a_1}{d}-1}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=\sqrt{\frac{2K}{d}+\left(\frac{\frac{2a_1}{d}-1}{2}\right)^2}-\frac{\frac{2a_1}{d}-1}{2} \end{eqnarray*}$

Mit:

$\begin{eqnarray*} \frac{2K}{d}=800 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{2a_1}{d}-1}{2}=\frac{19}{2} \end{eqnarray*}$

Hörma Seegers, nu is aber allet klar - oda?

08.03.2007, 13:46

Moe_HH

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Ich habe jetzt nurnoch Probleme, die Formel:

$\begin{eqnarray*} K = \frac{d}{2} n^{2} + n (a_1 - \frac{d}{2} ) \end{eqnarray*}$

Richtig umzuformen, sodass ich

$\begin{eqnarray*} n = ... \end{eqnarray*}$

erreiche... wenn du das noch in kleinen Schritten zeigen könntest, wäre das perfekt und ich hätte meine Aufgabe geschafft, sodass ich sie auch verstanden habe...

08.03.2007, 13:54

hima

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folgen und reihen
Bitte kann mir jemand helfen dieses bsp zu lösen es ist die hü die mich wieder positiv stellt also bitte hier ist die aufgabenstellung:

In einem gleichschenkelig-rechtwinkeliges Dreieck mit der Kathete a wird der Inkreis eingezeichnet.Diesem Inkreis wird ein gleichschenklig-rechtwinkeliges Dreieck eingeschrieben,dem Inkreis dieses Dreiecks wieder ein gleichschenklig-rechtwinkeliges Dreieck,usw....
a)Summe der Umfänge aller Kreise
b)Summe der Flächeninhalte aller Dreiecke

08.03.2007, 14:04

klarsoweit

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Heidinei. das ist doch simples Rechnen mit quadratischen Gleichungen.

$\begin{eqnarray*} K = \frac{d}{2} n^2 + n (a_1 - \frac{d}{2} ) \end{eqnarray*}$
==>
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{2} n^2 + n \cdot (a_1 - \frac{d}{2} ) - K = 0 \end{eqnarray*}$ | * (2/d)
==>
$\begin{eqnarray*} n^2 + n \cdot (a_1 \cdot \frac 2 d -1) - K \cdot \frac 2 d = 0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt die normale p-q-Formel anwenden.

@hima: bitte für ein neues Problem einen neuen Thread aufmachen

08.03.2007, 14:09

hima

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folgen und reihen
Ihr müsst das bsp nicht ausrechnen nür die formeln sagen weil ich mit dem laptop arbeite und mathe programm derive also bitte

08.03.2007, 14:12

hima

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folgen und reihen
ok das mach ich danke aber eine frage noch welche p q formel meinst du
b(n) =b1·q^n-1

08.03.2007, 14:14

kiste

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08.03.2007, 14:15

klarsoweit

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RE: folgen und reihen
@hima: Im übrigen bezog sich meine Antwort nicht auf deine Frage. Da solltest du ja schließlich einen neuen Thread aufmachen.

EDIT: das kommt davon, wenn man sich woanders reinmischt. unglücklich

unglücklich

08.03.2007, 14:25

hima

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folgen und reihen
Klarsoweit ich hab deinen rat befolgt und hab ein neues thema erstellt i wusste das nicht mit dem neuem thema schrieb hier zum ersten mal also bitte sry kannst du mir jetzt helfen pls

08.03.2007, 16:07

Moe_HH

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Ich habe noch eine Frage, wie verschwindet das $\begin{eqnarray*} \frac{d}{2} \end{eqnarray*}$ am Anfang der Gleichung? Wie bist du auf die Idee gekommen, mal $\begin{eqnarray*} \frac{2}{d} \end{eqnarray*}$ zu rechnen?!

Freundlicher Gruß,
Moritz

08.03.2007, 17:33

Moe_HH

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Hey, danke an euch alle! Ich habe es geschafft.. Big Laugh

Big Laugh

Total genial! Danke noch vielmals!
Damit kann das Thread jetzt in die Geschichte über gehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wink

Moritz

08.03.2007, 17:53

mathias11

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folgen und reihen
hi leute kann mir vl jemand bei diesem bsp helfen ich habe gar keine ahnung bitte mir fehlt 1 % auf dem genügen thx

In einem gleichschenkelig-rechtwinkeliges Dreieck mit der Kathete a wird der Inkreis eingezeichnet.Diesem Inkreis wird ein gleichschenklig-rechtwinkeliges Dreieck eingeschrieben,dem Inkreis dieses Dreiecks wieder ein gleichschenklig-rechtwinkeliges Dreieck,usw....
a)Summe der Umfänge aller Kreise?
b)Summe der Flächeninhalte aller Dreiecke?

09.03.2007, 08:53

klarsoweit

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RE: folgen und reihen
@mathias11:

Hier folgen und reihen geht's weiter.

Im übrigen gilt für dich das gleiche wie für hima: neues Problem ==> neuer Thread.

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