Vektorraum

07.03.2007, 19:57

Gab

Vektorraum

Hallo
Ist diese Menge ein Vektorraum: R über Q

Für einen Vektorraum gilt ja ganz allgemein

1) W != leer
2) v,w in W => v+w in W
3) v in W, t in K => tv in w

Wie muss ich die Axiome jetzt abklappern, 1 ist ja erfüllt, aber woraus nehme ich nun v und w? aus R oder aus Q? Oder beliebig?

Also ich muss ja v und w nehmen und dann noch in R liegen (oder in Q liegen)?

Also wie dürfen meine Zahlen v und w sein? Müssen die aus R sein oder aus Q?

07.03.2007, 20:01

Mazze

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Was heisst denn R über Q? Meinst Du damit Du hast die Menge Q und nennst den Raum R?

07.03.2007, 20:33

vektorraum

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RE: Vektorraum
Hi!

Deine Aussagen sind sehr ungenau und lassen nur Annahmen zu. Bitte formuliere deine Aufgabe exakt und gib an, was deine Menge ist, und was dein Körper ist.
Denn normalerweise müsstest du nämlich alle Vektorraumaxiome nachweisen, um zu zeigen, dass eine Menge $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ über einen Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum ist.

Ist aber $\begin{eqnarray*} U\subset V \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge eines Vektorraums $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , so heißt $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ Untervektorraum zu $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ falls gilt:

$\begin{eqnarray*} (i)~0\in W~\Leftrightarrow~w\neq \{\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (ii)~v,w\in W~\Rightarrow~v+w\in W \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (iii)~\lambda \in K,~v\in V~\Rightarrow~\lambda \cdot c\in V \end{eqnarray*}$

07.03.2007, 23:53

Index

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RE: Vektorraum
Na klar, nur nicht von endlicher Dimension.

Aus der Analysis ist doch bekannt, daß sich jede reelle Zahl als Limes einer Folge rationaler Zahlen darstellen lässt.

Mit den Rechenregeln für konvergente Folgen kannst Du die Vektorraumaxiome verifizieren.

08.03.2007, 08:10

Leopold

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Die Sache ist eigentlich klar. Die Vorwürfe an Gab gehen daher fehl. Gab sagt: $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} W = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ als Vektorraum und $\begin{eqnarray*} K = \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ als Körper

Prinzipiell gilt: Jeder Körper ist Vektorraum über einem seiner Unterkörper. Das ist also auch hier der Fall. Und mit Analysis (konvergente Folgen etc.) hat das zunächst einmal gar nichts zu tun. Erst wenn es um eine Basis oder die Dimension dieses Vektorraumes geht, spielen Fragen der Mengenlehre wie etwa die Kardinalität eine Rolle (Hamelbasis).

08.03.2007, 10:12

WebFritzi

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Ich sehe hier keine Unterraum-Eigenschaft dieses Raumes (außer zu sich selbst). D.h., man muss alle Vektorraumaxiome nachweisen.

08.03.2007, 13:27

Index

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Wieso hat das mit konvergenten Folgen nichts zu tun ?
Jede Folge läßt sich als Reihe darstellen, somit jedes Element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
als Linearkombination mit Skalaren aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ .

Es ist natürlch vorausgesetzt und bewiesen (u.a. mit dem Lemma von Zorn):

Jeder Vektorraum hat eine Basis.

08.03.2007, 14:55

Leopold

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Ist $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ Oberkörper von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ in natürlicher Weise ein Vektorraum über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ . Die "Vektoren" sind die Elemente von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ , die "Vektoraddition" ist die Addition im Körper $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ . Die skalare Multiplikation eines Körperelements von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ mit einem "Vektor" aus $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ entspricht der Multiplikation in $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ .
Daß das mit diesen Operationen versehene $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist, ist trivial. Zu beweisen ist nichts.

Und von konvergenten Folgen ist hier nirgendwo die Rede. Wieso auch! Für die hier vorgebrachte Frage sind Axiome der Ordnung oder Topologie gänzlich irrelevant. Das einzige, was zählt, ist:

$\begin{eqnarray*} L = \mathbb{R} \ \ \mbox{ist Oberkörper von} \ \ K = \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

08.03.2007, 20:44

Gab

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Das freut mich ja, dass ihr mir alle bei der Aufgabe hier helft und so großes Interesse da ist, leider habe ich nicht allzuviel verstanden.
Also das Ergebnis ist nun (wie Vektorraum sagte), dass ich die von ihm genannten Axiome nachrechnen muss?

08.03.2007, 21:55

vektorraum

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Hey gab!

Ja, das müsste eigentlich reichen. Die Diskussion ist wohl etwas weitergegangen als du gedacht hattest.
Was ich aber eher mit meiner Kritik wegen dem ungenauen meinte ist, dass du hättest einfach nur mal die ganzen Kriterien für einen Vektorraum auf dein Problem hättest ummünzen müssen.

Viel Spaß beim Nachrechnen!

08.03.2007, 22:01

Index

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Gut, wenn Gab aber nun ohne die Begriffe Oberkörper und Unterkörper
auskommen möchte oder sogar muß und den Nachweis elementarer führen möchte (weil er bspw erst im ersten Semester ist )was dann ?
Vollkommen triviale Aufgaben werden i.d.Regel nicht gestellt.

08.03.2007, 23:25

Leopold

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Den einzigen Nachweis, den man bei dieser Aufgabe führen muß, ist, nachzuweisen, daß nichts nachzuweisen ist, einfach wegen $\begin{eqnarray*} K \subset L \end{eqnarray*}$ . Daß $\begin{eqnarray*} (L,+) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe ist, steht ja schon in den Körperaxiomen. Und daß die Gesetze für die skalare Multiplikation von Elementen aus $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ (Vektoren) mit Elementen aus $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ (Skalare) erfüllt sind, steht auch schon in den Körperaxiomen.

09.03.2007, 01:25

WebFritzi

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Zitat:

Original von Index
Gut, wenn Gab aber nun ohne die Begriffe Oberkörper und Unterkörper
auskommen möchte oder sogar muß und den Nachweis elementarer führen möchte (weil er bspw erst im ersten Semester ist )was dann ?

Wie gesagt: Vektorraum-Axiome nachrechnen.

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