Rentenrechnung / Rate berechnen

13.09.2004, 09:02	alleymcbeal	Auf diesen Beitrag antworten »
Rentenrechnung / Rate berechnen Hallo, da ich mich bei der Rentenrechnung null auskenne, wende ich mich an euch, und hoffe jemand kann mir da weiterhelfen! Aufgabe: ( a) hab ich lösen können, b) absolut keinen Plan! Die 11mal hab ich auch noch rausbekommen aber dann...?) Ein Betrieb nimmt einen Kredit in der Höhe von € 30000,- zu i = 10,5 % auf. Nach 2 Jahren zahlt er € 5000,- und zugleich die erste von insgesamt 14 vierteljährlichen Raten. a.) Wie hoch sind diese Raten? b.) Wie viele Vollraten müsste er leisten, könnte er jede Rate um € 500,- erhöhen, und wie groß wäre die Schlussrate, wenn sie eine Periode nach der letzten Vollrate fällig sein soll? (11mal, 1432,72) merci, merci Alley
13.09.2004, 09:36	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rentenrechnung / Rate berechnen Die Renten/Ratenrechnung ist zwar für viele ein Rätsel , trotzdem verschiebe ich sie.
13.09.2004, 11:13	alleymcbeal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rentenrechnung / Rate berechnen Ja na, aber i brauch des heit! kunntest du di net vielleicht a bisserl im knobbeln üben, he, der alley zu liebe. hab nämlich in zwei wochen matura! weisst eh die zeit! merci, merci alley
13.09.2004, 12:02	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Bei dieser Art von Beispielen ist das Aufstellen einer Zeitlinie und Wahl des Zeit-Bezugspunktes vorteilhaft. Am Anfang ist der Zeitpunkt "heute", dort befindet sich der Barwert der Rente S = 30000. Die gesuchte vierteljährliche Rate bezeichnen wir mit a. Da der Zinssatz per anno 10,5 % beträgt, die Raten aber vierteljährlich einbezahlt werden, muss für diese noch der äqivalente vierteljährliche Aufzinsungsfaktor $\begin{eqnarray} q_4 \end{eqnarray}$ bestimmt werden. Der jährliche Aufzingsfaktor ist $\begin{eqnarray} q = 1 + \frac{i}{100} = 1,105 \end{eqnarray}$ der vierteljährliche ist demnach $\begin{eqnarray} q_4 = \sqrt[4]{q} \end{eqnarray}$ denn nach 4 Quartalen muss das Kapital samt Zinsen auf das q-fache (1,105-fache) angewachsen sein. Es ist also $\begin{eqnarray} q = q_4^4; q_4 = 1,0253 \end{eqnarray}$ Auf der Zeitline befinden sich nun 5000 nach zwei Jahren, die erste Rate a ebenfalls nach 2 Jahren (8 Vierteljahre!) und dann im vierteljährlichem Abstand die weiteren 13 Raten. Der Barwert S muss nun gleich dem Wert aller Einzahlungen bezogen auf den Zeitbezugspunkt "heute" sein: $\begin{eqnarray} S = \frac{5000}{q^2} + \frac{a}{q_4^8} + \frac{a}{q_4^9} + ... + \frac{a}{q_4^{21}} \end{eqnarray}$ [Die Anzahl der Raten a muss 14 sein, daher werden die Potenzen von 8 bis 21 gezählt] Nun wird die Reihe summiert und aus der Gleichung a berechnet. $\begin{eqnarray} 30000 = \frac{5000}{1,105^2} + \frac{a}{1,0253^8} + \frac{a}{1,0253^9} + ... + \frac{a}{1,0253^{21}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 30000 = \frac{5000}{1,105^2} + \frac{a}{1,0253^{21}} \cdot \frac{1,0253^{14} - 1}{1,0253 - 1} \end{eqnarray}$ .... $\begin{eqnarray} a = 2643,92 \end{eqnarray}$ Diese Rate a wird nun um 500 erhöht, sie wird mit $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ bezeichnet und n mal (in n Vierteljahren) ausbezahlt. Wir berechnen nun n formal, d.h. es wird n zunächst nicht ganzzahlig sein. Der Barwert der n Raten beträgt (sh. oben) $\begin{eqnarray} a_1 = 3143,92 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 30000 - \frac{5000}{1,105^2} = 25905,08 \end{eqnarray}$ und ist summiert $\begin{eqnarray} \frac{a_1}{1,0253^8} + \frac{a_1}{1,0253^9} + ... + \frac{a_1}{1,0253^{(7+n)}} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \frac{a_1}{1,0253^{(n+7)}} \cdot \frac{1,0253^{n} - 1}{1,0253 - 1} \end{eqnarray}$ Nach Gleichsetzen wird n berechnet. .... $\begin{eqnarray} n = 11,41983 \end{eqnarray}$ Nun wissen wir, dass die Schuld in 11 Vollraten zu $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ (in 11 Quartalen, Vierteljahren) abzutragen ist. Die letzte (12.) Rate wird etwas kleiner sein, weil dann der Saldo ausgeglichen sein soll. Wir tragen die (unbekannte) letzte erniedrigte Rate $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ am Ende des 19. (= 7 + 12) Vierteljahres ein und setzen den Barwert dieser und der anderen 11 Zahlungen gleich 25905,08: $\begin{eqnarray} 25905,08 = \frac{r_1}{1,0253^{19}} + \frac{a_1}{1,0253^8} + \frac{a_1}{1,0253^9} + ... + \frac{a_1}{1,0253^{18}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 25905,08 = \frac{r_1}{1,0253^{19}} + \frac{a_1}{1,0253^{18}} \cdot \frac{1,0253^{11} - 1}{1,0253 - 1} \end{eqnarray}$ .... daraus folgt $\begin{eqnarray} r_1 = 1329,35 \end{eqnarray}$ Dass dieses Ergebnis von der von dir bekanntgegeben Lösung abweicht, könnte daran liegen, dass die Bank quartalsmäßig verzinst, also der vierteljährliche Prozentsatz $\begin{eqnarray} q_4 = 1 + \frac{i}{4} = 1,02625 \end{eqnarray}$ beträgt! Setze also dann für q_4 diesen Wert ein, also 1,02625 statt 1,0253, der Gang der Rechnung wird dadurch nicht beeinflusst! Gr mYthos
13.09.2004, 13:19	alleymcbeal	Auf diesen Beitrag antworten »
Rentenrechnung hallo mYthos, also echt, du bist der helle wahnsinn. wirklich! ich werde heute gleich nach der arbeit, alles in ruhe durchgehen. und vielleicht geht mir dann endlich das noch fehlende licht in sachen rentenrechnung auf! vielen, vielen dank alley

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