konkav, konvex

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13.09.2004, 12:23

Romeo

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konkav, konvex

Wie beweise ich, dass eine Funktion ax+b sowohl konkav wie auch konvex ist?

13.09.2004, 12:50

Trazom

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Wie soll ne Gerade konkav/konvex sein?

13.09.2004, 13:15

Mazze

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Ich kann mir schon vorstellen das die Gerade "beides" ist, ich bin ja grad bei dem Thema.

f: I -> R konvex auf I wenn für je 2 Punkte $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \in I \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \in (0,1) \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} f((1 - \lambda)*x_1 + \lambda*x_2) \leq (1-\lambda)*f(x_1) + \lambda*f(x_2) \end{eqnarray*}$

Das trifft für die Gerade zu genauso wie die Konkavbedingung

$\begin{eqnarray*} f((1 - \lambda)*x_1 + \lambda*x_2) \geq (1-\lambda)*f(x_1) + \lambda*f(x_2) \end{eqnarray*}$

Denn es tritt für die Gerade ja die Gleichheit auf was beide Ungleichungen erfüllt! Der Beweis könnte unter anderem über diese Ungleichungen laufen. Eine Frage, ist eine Gerade zweimal differenzierbar? Also f'(x) = c abgeleitet ist 0, und 0 ist eine Konstante Funktion die ich ja bel. oft differenzieren kann. Ich frag das weil der Beweis dann über folgenden Satz sehr viel einfacher wäre

Ist f: i -> R auf I stetig und 2 mal diff'bar so gilt

konvex, wenn f''(x) >= 0 auf I
konkav, wenn f''(x) <= 0 auf I

in beiden Fällen Gleichheit also konkav und konvex.

13.09.2004, 13:24

Tobias

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Salopp ausgedrückt ist eine Funktion konkav, wenn keine Verbindungsstrecke zwischen zwei beliebigen Punkten oberhalb des Graphen liegt.

Sie ist konvex, wenn keine Verbindungsstrecke unterhalb liegt.

Das ist bei einer Geraden offensichtlich beides erfüllt.

Ist M konvex, so heißt eine Funktion $\begin{eqnarray*} f : M \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ konvex, wenn für alle $\begin{eqnarray*} x, y \in M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \in (0, 1) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} f(\lambda x + (1 - \lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y) \end{eqnarray*}$

Das dürfte nicht schwer zu zeigen sein für deine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = ax + b \end{eqnarray*}$ .

Konkav geht ganz analog.

13.09.2004, 13:27

Leopold

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Notwendig und hinreichend für die Konvexität einer zweimal differenzierbaren Funktion f ist

$\begin{eqnarray*} f''(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$

Notwendig und hinreichend für die Konkavität einer zweimal differenzierbaren Funktion f ist

$\begin{eqnarray*} f''(x) \leq 0 \end{eqnarray*}$

Wenn nur $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ steht, spricht man von strenger Konvexität bzw. Konkavität.

Und wie sieht's nun bei einer linearen Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=ax+b \end{eqnarray*}$ aus?

13.09.2004, 13:36

Machine's Way

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Eine Funktion f: [a,b]->R ist konvex, wenn für alle x,x1,x2 mit a<x1<x<x2<b gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x)-f(x1)}{x-x1} \leq \frac{f(x)-f(x2)}{x-x2} \end{eqnarray*}$

Setzt du da für f deine Gerade ein, siehst du sofort, dass die Bed. für alle x erfüllt ist.

Desweiteren ist eine Funktion f konkav, wenn -f konvex ist.
Ebenfalls sofort erfüllt in deinem Fall.

Anschaulich ist das auch klar, denn die Konvexitätsbedingung bedeutet, dass die Funktion im angegebenen Intervall [x1,x2] stets unterhalb oder auf der Sekante durch (x1,f(x1)) und (x2,f(x2)) verläuft. Wenn Du also eine Sekante zeichnen würdest, ergibt sich ja nicht mehr als eine Strecke auf der Geraden selber => konvex.
Analog für konkav.

13.09.2004, 15:41

Trazom

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Zitat:

Original von Leopold
Notwendig und hinreichend für die Konvexität einer zweimal differenzierbaren Funktion f ist

$\begin{eqnarray*} f''(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$

Notwendig und hinreichend für die Konkavität einer zweimal differenzierbaren Funktion f ist

$\begin{eqnarray*} f''(x) \leq 0 \end{eqnarray*}$

Wenn nur $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ steht, spricht man von strenger Konvexität bzw. Konkavität.

Und wie sieht's nun bei einer linearen Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=ax+b \end{eqnarray*}$ aus?

Achso, dann habe ich > und >= verwechselt. SORRY

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