[WS] Matrizen

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[WS] Matrizen
1. Matrix
2. Rechnen mit Matrizen
3. Rechengesetze
4. Lineare Unabhängigkeit
5. Rang
6. Inverse Matrix
7. Determinantenberechnung

in Arbeit Augenzwinkern
jama Auf diesen Beitrag antworten »
1. Matrix
1. Matrix


Unter einer Matrix versteht man ein rechteckiges System (zweidimensionale Anordnung) von reellen Zahlen, die in Zeilen (waagerecht) und Spalten (senkrecht) angeordnet sind. Die folgende Matrix heisst (m x n)-Matrix.

(Bildquelle: hier)


n entspricht der Anzahl der Spalten und m der Anzahl der Zeilen der Matrix A. Die Einträge sind die Elemente der Matrix, wobei m der Zeilen- und n der Spaltenindex ist. Die Anzahl der Zeilen (hier m) und Spalten (hier n) nennt man Dimensionen der Matrix.




Eine (1 x n)-Matrix A, die nur aus einer Zeile und aus n Spalten besteht, nennt man auch einen Zeilenvektor.
Eine (m x 1)-Matrix B, die nur aus einer Spalte und m Zeilen besteht, nennt man auch einen Spaltenvektor.

Eine (m x n)-Matrix C mit m=n nennt man auch eine quadratische Matrix.
Die Elemente liegen dabei auf der Hauptdiagonalen der Matrix C und heissen deswegen auch Hauptdiagonalenelemente.

Folgende Sonderfälle sind bei quadratischen Matrizen zu unterscheiden:
  1. Symmetrische Matrizen
  2. Diagonalmatrizen
  3. Einheitsmatrizen


1. Symmetrische Matrizen zeichnen sich dadurch aus, dass es so scheint, als wenn die Elemente an der Hauptdiagonalen gespiegelt worden wären.
In Formeln ausgedrückt:




2. Diagonalmatrizen sind Sonderformen der symmetrischen Matrizen.
Nur ihre Hauptdiagonalelemente unterscheiden sich von 0. Alle anderen Elemente dieser Matrizen sind 0. Hinweis: In einer Diagonalmatrix müssen nicht alle Hauptdiagonalelemente von Null verschieden sein.



3. Einheitsmatrizen sind widerum Sonderformen der Diagonalmatrizen.
Die Hauptdiagonalenelemente haben den Wert 1, so dass jeder Vektor / jede Matrix multipliziert mit der Einheitsmatrix, sich selbst ergibt.



Vielleicht habt ihr es schon selbst bemerkt, aber ich sage das trotzdem einmal. Bei der Bezeichnung von Matrizen verwendet man üblicherweise nur Grossbuchstaben.
 
 
jama Auf diesen Beitrag antworten »
2. Rechnen mit Matrizen
2. Rechnen mit Matrizen

Gleichheit:
2 Matrizen A und B sind gleich, wenn sie gleiche Dimensionen haben (ihre Spalten- und Zeilenanzahl übereinstimmen) und die Matrizen "koeffizientenweise" gleich sind, d.h. .

Multiplikation mit einer Zahl:
Die Multiplikation einer Zahl r (Element von IR) mit einer Matrix A erfolgt durch die Multiplikation der Zahl r mit den jeweiligen Elementen / Koeffizienten der Matrix A.



Beispiel:



Addition zweier Matrizen:
Matrizen A und B können addiert werden, sofern ihr Spalten- und Zeilenanzahl übereinstimmt. Bei der Addition werden dann jeweils die entsprechenden Koeffizienten / Elemente addiert.



Beispiel:



Multiplikation zweier Matrizen:
2 Matrizen A und B können nur miteinander multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix mit der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix übereinstimmt. Wenn die erste Matrix A eine (m x n)-Matrix ist, so muss die zweite Matrix B eine (n x l)-Matrix sein. Die Produktmatrix C=A*B ist dann eine (m x l)-Matrix. Das Element der Produktmatrix wird durch die Multiplikation der j. Zeile der ersten Matrix mit der k. Spalte der zweiten Matrix berechnet (wie beim Skalarprodukt):



Beispiel:





Nun wird die 1. Zeile der Matrix A mit der 1. Spalte der Matrix B multipliziert, und zwar so, wie wir es vom Skalaprodukt kennen. Danach wird die 2. Zeile von A mit der 1. Spalte von B multipliziert, usw. Ergebnis ist die 1. Spalte von C. Danach beginnt diese Abfolge erneut, nur statt mit der 1. Spalte von B, wird mit der 2. Spalte gerechnet, was dann die 2. Spalte von C ergibt.











Wem diese Berechnung zu unübersichtlich ist, kann auch nach dem "Falk'schem Schema" vorgehen:




Bildquelle: Fachbereichsarbeit von Sebastian Scholz

Daher ergibt sich:





ACHTUNG: Die Multiplikation von Matrizen ist nicht
kommutativ
! A*B ist nicht gleich B*A. B*A muss noch nicht einmal unbedingt existieren, wenn die Multiplikation von A*B geht. A*B und B*A existieren nur dann, wenn A eine (m x n)-Matrix und B eine (n x m)-Matrix ist:

(m x n) A, (n x m) B
A * B = (m x m) C
B * A = (n x n) D

A*B ist demnach ungleich B*A, wenn n ungleich m. Falls m = n, handelt es sich um quadratische Matrizen. Die Produktmatrizen sind dennoch nicht zwangsweise gleich:







Ausnahmen:









Multiplikation mit einem Vektor:
Da ein Vektor eigentlich einer einspaltigen Matriz entspricht, verläuft die Multiplikation nicht anders, als bei zwei Matrizen. Ich führe es dennoch einmal aus Augenzwinkern . Wenn die Anzahl der Spalten von Matrix A mit der Anzahl der Zeilen von Vektor b übereinstimmt, so ist eine Multiplikation von A mit b möglich:



Beispiel:



Potenzen:
jama Auf diesen Beitrag antworten »
3. Rechengesetze
3. Rechengesetze

Neutralität:




Kommutativgesetz:



(s. letztes Kapitel)


Assoziativgesetz:



(wichtig ist die Reihenfolge)




Distriubutivgesetz:



(auf die Reihenfolge achten)


Regel für das Transponieren von Matrixprodukten:

Guevara Auf diesen Beitrag antworten »











Auf Reihenfolge achten.

//EDIT by sommer87: [mimetex] verbessert

Matrizengleichungen

Es wurde eingekauft:
1.Tag: 4 Äpfel + 4 Birnen +5 Citronen , Gesamtkosten: 39€
2.Tag: 5 Äpfel + 2 Birnen +3 Citronen , Gesamtkosten: 27€
3.Tag: 8 Äpfel + 3 Birnen +6 Citronen , Gesamtkosten:46€
Was kosten nun das Stück Äpfel, Birnen und Citronen.
Wir können die Gleichung so aufschreiben:
1.
2.
3.
Die Zahlen auf der linken seite sind die Koeffizienten, die zahlen auf der rechten Seite sind die Konstanten.
Im gegensatz zu gleichungen mit 2 unbekannten lässt sich diese Gleichung nicht mit einem einsetzungsverfahren lösen. Um das Lineare Gleichungsystem (LGS) lösen zu können darf man es mit folgenden operationen ändern ohne dass die zur Lösung wichtigen Infromationen verloren gehen.

1.) Vertauschen zweier Reihen, wobei die ganze gleichung mit Konstanten verschoben wird. Wenn man aber die Spalten vertauscht, vertauscht man auch die Lösungen.
2.) Multiplikation einer ganzen Spalte mit einer Zahl r ungleich 0.
3.) Addition einer Gleichung zu anderen. Man muss darauf achten dass keine Information die für das lösen wichtig ist verloren geht. Macht man aus G1 und G2 die Gleichung G3=G1+G2 und behält nicht die G1 oder G2 ist Information verloren gegangen.

Wir können die Gleichung in Matrizenform schreiben:

Wir müssen die Koeffizienten Matrix so umformen


Mit Hilfe der Elementaren umformoperationen kann man es zur einheitsmatrix umformen. Allerdings ist es schwierig wenn man kein Schema dafür hat. Dazu gibt es das Eliminationsverfahren das auf das Additionsverfahren basiert.
1.)Wir schreiben die gleichung wie unten auf

Nun dividieren wir die Zeilen durch die vorderste Zahl.

Jetzt Subtrahiert man die 1. Zeile von der 2. und 3.

Jetzt teilen wir die unteren 2 Zeilen jeweils durch die mitlere Zahl.

Nun subtrahieren wir die 2. Zeile von der 3.

Jetzt dividieren wir die 3. Zeile durch den Hinteren Koeffizient und haben die erste unbekannte.

Jetzt multiplizieren wir die 3. Zeile mit jeweils mit den hinteren Koeffizienten der 1. und 2. Zeile und Subtrahieren diese von den entsprechenden Zeile und erhalten die 2. Unbekannte.

Jetzt Multiplizieren wir die 2. Reihe mit dem mitleren oberen Koeffizienten (in diesem Fall 1) und subtrahieren diese von der 1. Reihe und haben die 3. Unbekannte.


Man muss es nicht immer genauso machen. Man kann z.B. zuerst die rechten oder mittleren Koeffizienten zu 1 Dividieren. Es kann auch vorkommen dass einer der Koeffizienten 0 ist und man mit ihm nicht dividieren kann. Hier ist der Koeffizient schon eliminiert. Deshalb kann man ein Lgs nicht mit einer Formel Lösen sondern mit einem allgemeinem Verfahren. Das obere Beispiel ist nur eine möglichkeit wie man eliminiert und zur Einheitsmatrix umformt.
Die Äpfel kosten also 2€, die Birnen 4€ und die Zitronen 3€.
Man kann die Lösung bestätigen indem man die Werte in die Gleichung einsetzt oder den Lösungsvektor mit der Koeffizientenmatrix multipliziert.
Das verfahren lässt sich auch für LGS mit mehr als 3 unbekannten verwenden. Für n Unbekannten Zahlen braucht man n linear unabhängige gleichungen. Linear unabhängig bedeutet dass man die Koeffizienten nicht mit einer Zahl ungleich 0 Multiplizieren kann so dass 2 reihen gleich werden. Auserdem müssen die Spalten voneinander Linear unabhängig sein. Für ein LGS mit linear abhängigen Reihen oder Spalten gibt es zwei wichtige Fälle:
1. Man erhält durch umformen z.B. eine reihe mit folgender Gleichung

Diese LGS ist unlösbar. Wenn man nichts eingekauft hat man auch kein Geld ausgeben.
2. Man erhält durch umformen z.B. eine reihe mit folgender Gleichung

Dieses LGS hat unendlich viele Lösungen. Das heißt nicht dass man jede Zahl einsetzen kann. Dafür gibt es die Lösungsbedingungen.
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »

Weißt du was mir hier noch fehlt?
Ein paar Beispiele dafür, wo man Matrizen "im richtigen Leben" braucht. Es muss ja irgendetwas schön Eindeutiges geben, was die Notwendigkeit von Matrizen verdeutlicht.
Ach ja: ansonsten sehr schönes Tutorial, hat mir gefallen.

Mich würd's freuen.

Gruß
Hanno


Jama: Fragen bitte im zugehörigen Thema. Deine wurde dort schon beantwortet: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=621&sid=
Guevara Auf diesen Beitrag antworten »

Stellt euch vor ihr habt eine Tabelle die angibt aus wieviel von den Rohstoffen R1,R2,R3 jeweils die Zwischenprodukte Z1,Z2,Z3 hergestellt werden, und eine Tabelle die angibt aus wieviel von den Zwischenprodukte Z1,Z2,Z3 jeweils die Endprodukte E1,E2,E3 hergestellt werden. Wenn man beide Matrizen Multipliziert kommt eine Matrix die angibt aus wieviel Rohstoffen, die Enprodukte gefertigt werden.
m00xi Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, Danke, ich konnte mir nur einfach nichts drunter vorstellen.

Gruß
Hanno
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir mal das hier an, in meinen Augen ein schönes Anwendungsbeispiel für Matrizen (die Zeilen der stochastischen Matrix entsprechen den Zuständen vor einem Schritt und die Spalten dem Zustand nach dem Schritt, Matrixeinträge sind die Übergangswahrscheinlichkeiten. Daraus ergibt sich die Bedingung für eine stochastische Matrix, dass die Summe über die Elemene einer Zeile 1 ergeben muss, dies natürlich in allen Zeilen. Und dann kann man sich Potenzen der Übergangmatrix angucken, schauen, ob´s dafür nen Grenzwert gibt oder inwieweit sowas vom Startzustand abhängt).

Gruß vom Ben
Joerghamster Auf diesen Beitrag antworten »

Soo, is zwar mein erster Beitrag hier, aber ich denke mal, das das tutorial es nicht wert ist, so lange nur halb existieren zu müßen Augenzwinkern

Deswegen mach ich jetzt hier einfach mal mit den restlichen noch fehlenden punkten 4-7 weiter

4. Lineare Unabhängigkeit und Rang einer Matrix

Eine Matrix wird als linear Unabhängig bezeichnet, sobald keine Zeile linear von einer anderen Zeile abhängig ist. Das läßt sich am einfachsten Zeigen, indem man die Matrix in die Obete Dreiecksform bringt. Sobald sie linear abhängige Zeilen enthält, werden diese dabei zu Null-Zeilen.

Auch der Rang einer Matrix definiert sich über die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen.

Beispiele:

Matrix mir dem Rang rg(3) die linear unabhängig ist

,

Matrix mir dem Rang rg(4) die linear abhängig ist

,


5. Die Transponierte Matrix

Beim Transponieren einer Matrix wird die Matrix an der Hauptdiagonalen gespiegelt. Also einfach gesagt, die Matrix wird um 90° gekippt und die Zeilen werden zu den Spalten und umgedreht.

Beispiel

,

,


5. Die inverse Matrix

Beim invertieren von Matrizen gibt es mehrere möglichkeiten. Zum einen kann man die Adjunkenregel anwenden, zum anderen den Gauss-Algorithmus

Adjunkenregel

Bei der Adjunkenregel wird die transponierte Matrix der Ausgangsmatrix erstellt und anschließend alle Elemente der Transponierten Matrix durch ihre Adjunken ersetzt. Diese Adjunkenmatrix wird mit durchmultiplitziert.

Die Adjunken erhält man durch Streichung der jeweiligen Zeile und Spalte in der das zu ersetzende Element steht. Anschließend wird die jeweilige Determinate dieser Adjunken berechnet und eingesetzt.
edit LOED: hier liegt noch der hund begraben
die determinante wird noch mit -1^{i+j} multipliziert, i und j sind dabei die aktuelle zeile bzw. spalte
werde die minuszeichen hoffentlich an allen nötigen stellen einfügen


Allgemeines Beispiel:








Beispiel mit Zahlen:










edit: auch bei der inversen waren folgefehler drinnen
interessanterweise nicht alle vorzeichenfehler wie erwartet
so sollte die inverse stimmen





Gauss-Algorithmus für inverse Matrizen


Beim Gauss-Algorithmus wird die zu inverteirende Matrix mit der entsprechend großen Einheitsmatrix



auf der rechten seite erweitert, und danach mit hilfe der elementaren Umformoperationen so umgeformt, das die linke Seite der Matrix der Einheitsform erreicht.

Beispiel :






wird zu



Damit ist




Die determinantenberechnung folgt noch Augenzwinkern

ich hoff mal ich hab hier keine all zu großen Denkfehler reingebracht, wenn doch bitte korigiert mich

Gruß Joerghamster
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