Aussage und Aussageform

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The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »
Aussage und Aussageform
Hallo.

Zitat:
Definition 1.1.4 Erfüllungsmenge
1.) Ist A(x) eine Aussageform über , so ist die Erfüllungsmenge oder Lösungsmenge von A definiert als { } .

2.) Ist die Erfüllungsmenge von A ganz , so heißt A allgemeingültig.
3.) ...


Was bedeutet hier das "A" ? Ist das eine Aussage oder eine Aussageform ? ( bei 2.) )

Wie genau liest man das, was nach dem senkrechtstrich in einer "definitonsklammer" ( "{}" ) vorkommt.
Liest man oben in 1.) z.B. "... x ist Element von G, wobei A(x) wahr ist" ?

- wie liest man "A(x)" ? etwa "A von x" ?
- wie liest man ? etwa "L von A" oder einfach "L A"

- Erfüllungsmenge ist dasselbe wie Lösungsmenge stimmt es ?

- mir fällt grade ein: Können Aussagen und Aussageformen Lösungsmengen haben, oder ist es, falls eine Lösungsmenge vorliegt, immer eine Überführung einer Aussageform zu einer Aussage?

- Gibt es Äquivalenz auch bei Aussagen oder nur bei Aussagenformen ?
Die Bedingung ist ja, dass beide über derselben grundmenge definiert sein
und die selbe Lösungsmenge haben müssen. Bei Aussagen hat man aber
keine Variablen. Kan mann da auch von Äquivalenz reden ?
- Und wie ist das mit der Folgerung ?
- Aussagen dürften auch keine Lösungsmenge haben oder ?

Quantoren:
Ist der Abstand zwischen Quantoren und anderen mathematischen Zeichen oder Zahlen unwesentlich oder sollte man den Quantor schon immer dabei schreiben, wobei er steht?
also z.B. oder darf hier der Existenzquantor nicht so nah bei R (reelle Zahlen) stehen ?

Aussageverknüpfungen:
es binden am stärksten ind einer Aussage oder Aussageform:
1.) "<=>" und "==>"
2.) "nicht" (Negation)
3.) "v" und "und" diese sind gleichstark. sind aber auch der
Äquivalenz- und der Folgerunspfeil gleich stark
in der Bindung?

Ich weiß, ich bin nun bekannt für meine Fragen hier, ich stelle viele Fragen, aber ich muss das unbedingt draufhaben. Bitte lasst keine Fragen aus. Augenzwinkern
Danke.

Ps: Kann ich hier weitere Fragen einfach posten ? also einfach Themen mixen ?

pps: wie macht man freiräume in latex ? also statt backspace.
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Viele Fragen, viele Antworten:

A(x) ist die Aussageform. Eine Aussageform ist weder wahr noch falsch. Setzt man für x jedoch Elemente aus G ein, so erhält man eine Aussage, die entweder wahr oder falsch sein kann.

Eine Aussagen wären: "Die Banane ist gelb." oder "Nachts ist es kälter als draußen".

Eine Aussageform A(x) wäre: A(x) = x ist gelb.
A(Banane) würde zu einer wahren Aussage führen, A(Kirsche) nicht.

Google weiß übrigens viel zu diesem Thema.

Die Erfüllungsmenge oder Lösungsmenge (bedeutet das selbe) enthält alle Elemente x aus G, die A(x) zu einer wahren Aussage machen.

Wäre also G = {Banane, Kirsche, Pflaume, Apfel, Pampelmuse} und A(x) wie oben, dann wäre L = {Banane, Pampelmuse}.

A(x) liest man wie f(x) smile "A von x".

Die Menge L von A (Die Lösungsmenge bezüglich der Aussageform A) lies sich etwa so: "x aus G ist Element der Lösungsmenge, wenn A(x) wahr ist." In einer Menge gibt man hinter dem "|" eine Bedingung an das Element an, was in der Menge liegen darf.

Aussagen haben keine Lösungsmenge. Aussagen sind entweder wahr oder falsch. Aussageformen haben immer Lösungsmengen (die aber leer sein können).

Eine Überführung einer Aussageform in eine Aussage geschieht dann, wenn du für das x etwas einsetzt. Dabei ist es nicht von Relevanz, ob durch das Einsetzen eine wahre oder falsche Aussage entsteht.


Ein Quantor bezieht sich immer auf das, was rechts neben ihm steht. Quantoren benutzt man als Abkürzung wie etwa für "es existiert" oder "zu jedem", "für alle". Ich halte es für sinnvoll, den Einsatz von Quantoren zu vermeiden und die Sätze auszuformulieren.

Bei der Bindungsstärke bin ich nicht ganz sicher, würde aber vermuten wollen, dass die Negation am stärksten bindet. Danach kommen UND und ODER und dann erst Äquivalenz und Folgerung.

Freiräume in LateX erzeugt man mit "\;" für ein Leerzeichen, "\quad" für vier Leerzeichen und "\qquad" für acht. Mit Backspace hat das allerdings nichts zu tun.

MfG
 
 
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bei der Bindungsstärke bin ich nicht ganz sicher, würde aber vermuten wollen, dass die Negation am stärksten bindet. Danach kommen UND und ODER und dann erst Äquivalenz und Folgerung.


Danke für Dein Antworten.
Das was Du aber hier sagst, ist falsch. das "nicht" steht an zweiter Stelle. Ich habe dazu ein Skript, in dem es so steht.

Es ist zwar explizit angegeben, dass das "und" und "oder" gleich stark binden, aber nicht, ob das auch für "<=>" und "==>" gilt.


Zitat:
Ein Quantor bezieht sich immer auf das, was rechts neben ihm steht. Quantoren benutzt man als Abkürzung wie etwa für "es existiert" oder "zu jedem", "für alle". Ich halte es für sinnvoll, den Einsatz von Quantoren zu vermeiden und die Sätze auszuformulieren.

Also ist es eigentlich egal, ob man etwas mehr Platz lässt oder alles wie in einer "Abfolge" aufschreibt?

Zitat:
- Gibt es Äquivalenz auch bei Aussagen oder nur bei Aussagenformen ?
Die Bedingung ist ja, dass beide über derselben grundmenge definiert sein
und die selbe Lösungsmenge haben müssen. Bei Aussagen hat man aber
keine Variablen. Kan mann da auch von Äquivalenz reden ?
- Und wie ist das mit der Folgerung ?

Wenn Aussagen keine Lösungsmenge haben, können sie dann aber trotzdem äquivalent sein oder voneinander folgen ("==>") ?
in der Definition der Äquivalenz spielt Lösungsmenge ja eine Rolle, auch bei der Folgerung, aber ich meine, man kann das auch auf Aussagen anwenden. (?)
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Die Semantik bleibt erhalten, auch wenn du keinen Platz lässt. Allerdings der Übersichtlichkeit halber sollte man schon veruchen, durch Leerzeichen die Lesbarkeit zu erhöhen.



Schöner wäre jedoch das, was man sagen will in Worte zu kleiden. In etwa "Die reellen Zahlen sind nicht nach oben beschränkt." oder "Zu jeder reellen Zahl findet sich eine mindestens genauso große zweite."
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

das ist eben Mathematik, man drückt alles kurz und präzise aus. Augenzwinkern
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aussage und Aussageform
Zitat:
Wie genau liest man das, was nach dem senkrechtstrich in einer "definitonsklammer" ( "{}" ) vorkommt.
Liest man oben in 1.) z.B. "... x ist Element von G, wobei A(x) wahr ist" ?

Lies:
L A ist gleich der (die) Menge aller x aus G, für die gilt: A (von) x ist wahr


- Erfüllungsmenge ist dasselbe wie Lösungsmenge stimmt es ?

so sieht es aus.

Solche Dinge sind aber nicht selten definitionsabhängig und
deswegen etwas mehr auf das Buch bzw das spezielle Kapitel
so zu sehen und nicht zwingend zu meinen, all diese Feinheiten
müssten einer globalen mathematischen Oberhoheit genügen
und deswegen allgemeingültigen Grundkonsens darstellen der
überall blind nur durch sein Aussprechen schon zweifelsfrei gewertet
werden können müsse.
Auch diese Erklärung ist in diesem Sinne zu verstehen.

Siehe die Diskussion 'Was ist ein Trapez'
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