Definition Gerade

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DerStudent Auf diesen Beitrag antworten »
Definition Gerade
Was ist eine Gerade ? - Die kürzeste Verbindung zwischen 2 Punkten.
Was ist die kürzeste Verbindung zwischen 2 Punkten ? - Eine Gerade.

verwirrt

Ich experimentiere im Moment mit Matlab und Grafiken. Dabei habe ich verschiedene Metriken d benutzt.
Zuerst habe ich Kreise gezeichnet. Kein Problem :
wenn d(x,y) < r, dann ist y ein Punkt des Kreises um x mit Radius r.
(Bei geeigneten Metriken kommen als Einheitskreise ganz nette Muster raus.)

Aber mein Problem hat angefangen, als ich dann Geraden zeichnen wollte. Denn was ist eine Gerade ?
Ich habe nur : "in der euklidischen Geometrie eine unendlich lange, unendlich dünne Linie mit folgender Eigenschaft: Liegen zwei voneinander verschiedene Punkte auf der Geraden, so bildet der zwischen ihnen liegende Geradenabschnitt die kürzeste Verbindung zwischen den Punkten." gefunden.

Oder anderswo spricht man von Axiomen, die aber nirgends zu finden sind.
Also habe ich mir davon ausgehend meine Geraden so konstruiert, dass wenn z auf der Geraden zwischen x und y liegt, dann ist d(x,y) = d(x,z) + d(z,y).
In euklidischen Räumen kein Problem. Aber was ist, wenn zB die Metrik die Dreiecksungleichung nicht erfüllt ? Dann kann d(x,y) nicht die Länge des Geradenstücks zwischen x und y sein, da es einen Punkt z geben kann, so dass d(x,y) > d(x,z) + d(z,y) ist.

Ich könnte mir irgendwelche Hilfskonstruktionen vorstellen, so dass man Geraden auch in allgemein metrischen Räumen hat, aber diese würden nicht direkt aus der Vorraussetzung folgern. ("Liegen zwei voneinander verschiedene Punkte ....")

Naja trotz der Gefahr, dass der Post zu lang wird und ihn sich keiner mehr durchliest bring ich nochma n beispiel:
Man nehme die Metrik eines Wanderers dW(x,y). Der von Stadt A über einen Berg zu Stadt D reisen will.
Von der Zeit her kürzer wäre es aber entweder links vorbei am Berg durch Stadt B
oder rechts vorbei durch Stadt C.
Frage : Wie sieht jetzt die Gerade von A nach B aus ?
Ich kann mir zB Vorstellen, dass in diesem "Wanderraum" der Rundweg um den Berg die Gerade durch die Punkte A,B,C und D darstellt.
Aber diese Gerade ist doch nicht unendlich lang ? Oder doch ?

Also ich hoffe irgendjemand versteht um was es mir geht und kann mir
entweder passende Literatur empfehlen oder wenn er meinen Denkfehler
erkennt mich darauf hinweisen. Ich wäre sehr dankbar smile .
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber was ist, wenn zB die Metrik die Dreiecksungleichung nicht erfüllt ? Dann kann d(x,y) nicht die Länge des Geradenstücks zwischen x und y sein, da es einen Punkt z geben kann, so dass d(x,y) > d(x,z) + d(z,y) ist.

Eine Metrik ist eine Abbildung, die bestimmte Vorraussetzungen erfüllen muss. Darunter ist auch die Dreiecksungleichung. Erfüllt die Abbildung die Dreiecksungleichung nicht, so ist sie nach der Definition der Metrik keine solche. Oder meinst du hier was anderes mit Metrik verwirrt

Bei deinen Überlegungen kann ich dir gerade nicht helfen, in komischen Metriken zu denken bereitet doch Kopfschmerzen Augenzwinkern
DerStudent Auf diesen Beitrag antworten »
Metrik allgemein / eigentlich
eine allgemeine Metrik d(x,y) im Raum R ist eine Abbildung von
RxR nach [0, inf) in den reelen Zahlen.
für die gilt 0 <= d(x,y) < inf

wenn die Metrik außerdem die 3 Axiome des metrischen Raums erfüllt :
Identitätsaxiom : d(x,y) = 0 <=> x = y
Symmetrieaxiom : d(x,y) = d(y,x)
Dreicksaxiom : d(x,y) >= d(x,z) + d(z,y)
dann spricht man von einer eigentlichen Metrik.

Zum Beispiel ist die Metrik die ich in dem Beispiel oben angeführt habe
eine allgemeine aber keine eigentliche Metrik.
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, achso. Den Begriff der allgemeinen Metrik hab ich noch nie gehört. So eine allgemene Metrik kann ja alles mögliche sein, ist ja schrecklich smile
0100 Auf diesen Beitrag antworten »
Strecke - Gerade
Komisch, dass es keiner der "Fachleute" hier merkt, aber:

Die kürzeste Verbindung zwischen 2 Punkten ist eine Strecke!


Lasst euch mal extern beraten, dann bekommt ihr auch raus, was eine Gerade ist!
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Die ersten beiden Sätze mögen falsch sein, aber du hättest ruhig weiterlesen können:

Zitat:
in der euklidischen Geometrie eine unendlich lange, unendlich dünne Linie mit folgender Eigenschaft: Liegen zwei voneinander verschiedene Punkte auf der Geraden, so bildet der zwischen ihnen liegende Geradenabschnitt die kürzeste Verbindung zwischen den Punkten


Im Übrigen gilt das sowieso nur euklidische Räume. In gekrümmten Räumen muss man einen verallgemeinterten Begriff - und zwar den der "Geodäte" - verwenden.

air
 
 
0100 Auf diesen Beitrag antworten »
Definition Gerade
Du solltest nicht mit Begriffen um dich schmeißen, die du nicht verstehst!

Dir ist de facto der Unterschied zwischen einer Geraden und einer Strecke nicht aufgefallen. Wenig wahrscheinlich, dass Du tatsächlich in der Lage bist, komplexe mathematische Zusammenhänge zu erkennen.

Schreib besser zu den Themen, die mit deinen Genen und deiner frühkindlichen Bildung konvenieren.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Metrik allgemein / eigentlich
Zitat:
Original von DerStudent
eine allgemeine Metrik d(x,y) im Raum R ist eine Abbildung von
RxR nach [0, inf) in den reelen Zahlen.
für die gilt 0 <= d(x,y) < inf

wenn die Metrik außerdem die 3 Axiome des metrischen Raums erfüllt :
Identitätsaxiom : d(x,y) = 0 <=> x = y
Symmetrieaxiom : d(x,y) = d(y,x)
Dreicksaxiom : d(x,y) >= d(x,z) + d(z,y)
dann spricht man von einer eigentlichen Metrik.

Zum Beispiel ist die Metrik die ich in dem Beispiel oben angeführt habe
eine allgemeine aber keine eigentliche Metrik.

Unfug. Eine Metrik wird insbesondere über diese 3 Axiome definiert. Eine solche Unterscheidung in allgemeine und eigentliche Metrik ist nicht allgemein üblich. Nenn mir mal bitte eine Quelle, wo das so steht.


@0100: Keiner hier im Thread außer dem Threadsteller hat behauptet, dass die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten eine Gerade sei. Wenn du Streit suchst, dann mach das woanders!
0100 Auf diesen Beitrag antworten »
Definition Gerade
Bitte zeige doch mathematisch korrekt die Implikationen des "neuen" Paralellitätsbegriffes auf:

MatheBoard » Hochschulmathematik » Sonstiges » Doppelpost! Parallel


Es geht insbesondere um multidimensionale unförmige Räume.

Da könnt Ihr mal zeigen, wass ihr "könnt".

0100
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition Gerade
Zitat:
Original von 0100
Da könnt Ihr mal zeigen, wass ihr "könnt".

Du hast echt ein Problem. Wir müssen dir überhaupt nichts beweisen. Wenn du an unserer Fachkenntis zweifelst frag halt woanders!
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »
Gerade, Strecke und Strahl
aus: Handbuch der Mathematik

Punkte und Geraden sind Grundbausteine der Elementargeometrie. In der modernen Mathematik gibt man für sie keine Definitionen, sondern legt die Beziehungen zwischen ihnen durch Axiome fest, die grundlegende geometrische Zusammenhänge formulieren.

Eine Gerade wird durch zwei auf ihr liegende Punkte A und B eindeutig bestimmt. Eine Gerade ist orientiert, wenn für sie eine Durchlaufrichtung festgelegt ist.

Eine Strecke AB enthält genau die Menge aller Punkte einer Geraden, die zwischen den Punkten A und B dieser Geraden liegen, die Punkte A und B inbegriffen.
Die Strecke ist die kürzeste Verbindung der beiden Punkte A und B

Ein Strahl enthält genau die Menge aller Punkte einer Geraden, die bezogen auf einen Punkt 0 von ihr auf der gleichen Seite dieser Geraden liegen, den Punkt 0 mit einbezogen.

LGR
0100 Auf diesen Beitrag antworten »

Einer vermag also eine Gerade zu definieren.

Das ist nichts positieves. Insbesondere fehlt die spezielle Mathematik.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 0100
Das ist nichts positieves. Insbesondere fehlt die spezielle Mathematik.

Finger1

Dir ist echt nicht zu helfen.
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