lim sup (sin n)

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ozas Auf diesen Beitrag antworten »
lim sup (sin n)
hi leutz,

ich hoffe ihr koennt mir helfen:
wie bestimmt man den limes superior von sin n?
würde mich über eine schnelle antwort freuen.
thx, ozas
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Intuitiv würde ich sagen über Taylorreihen...

Gruß, therisen
Clara Fall Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst zeigen, dass es "immer wieder" ganze Zahlen K gibt, die sehr nahe an einer Zahl der Form

mit ganzzahligem k liegt. Für diese K ist dann nämlich sin(K) sehe nahe bei sin(p(k)) = 1.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Aussage halte ich für plausibel. Reicht zum Beweis die Irrationalität von oder braucht man mehr? Wie genau geht das?
Stimmt meine weitergehende Vermutung, daß die Menge der Zahlen sin n (mit positivem ganzzahligen n) dicht in [-1,1] liegt:

Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich unterstellen darf ??, daß in Pi oder 2Pi beliebig lange
Folgen von Nullen zu finden sein müssen, dann würde dies bedeuten
dass min|2Pi*k-n| mit k=5*10^m und passendem m, n aus N gegen
Null strebt.
Genausogut strebt es mit n' = n-1 gegen 1 und müsste ohne
Einschränkung der Allgemeinheit ebenso gegen die Ziffernfolge von
Pi/2 -1 streben bei entsprechendem k und passendem n.

Damit wäre begründet warum min|Pi/2+2Pi*k-n| gegen Null strebt.

Das soll kein Beweis sein, sondern mehr nur eine Skizzierung.


Entsprechend würde das dann auch implizieren dass die Folge
der Funktionwerte dicht in [-1,1] liegt.

Augenzwinkern




die beliebig langen Folgen von Nullen in der Ziffernfolge von 2Pi
werden natürlich nicht wirklich gebraucht, das war nur anschaulicher.
Gebraucht wird hingegen die Ziffernfolge von Pi/2-1 in fixer aber
beliebig langer Länge. Auch soll hier nicht zum Ausdruck gebracht
werden, dass nicht an anderer Stelle schon früher bessere
'Übereinstimmung' vorliegen könnte. Entscheidend ist nur dass
überhaupt ...
Ellen Bogen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Diese Aussage halte ich für plausibel. Reicht zum Beweis die Irrationalität von oder braucht man mehr? Wie genau geht das?


Ja, es genügt die Irrationalität. Für rationale Zahlen x ist die Aussage sowieso klar, für irrationale (o.B.d.A. positive) x ist zu zeigen:
Für jedes epsilon>0 gibt es natürliche Zahl p und q, so dass |x*q - p| < epsilon.

Die gewünschten Zahlen ergeben sich aus der Kettenbruchentwicklung von x, denn ist p_n / q_n die n-te Kettenbruch-Näherung und p_{n+1} / q_{n+1} die (n+1)-te, dann gilt die Abschätzung:
,
aus der sofort

folgt, wobei die rechte Seite für hinreichend großes n kleiner als epsilon wird.
(Näheres z.B. hier: http://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction, leider ohne Beweis.)

Zitat:

Stimmt meine weitergehende Vermutung, daß die Menge der Zahlen sin n (mit positivem ganzzahligen n) dicht in [-1,1] liegt:



Diese Aussage folgt z.B. aus der Dichtheit von {(n pi) mod 1 | n in N } in [0, 1] und der Stetigkeit der Sinus-Funktion. Erstere folgt leicht aus den obigen Überlegungen.
 
 
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Kann eine Zahl irrational sein, wenn eine beliebige endliche Ziffernfolge
in ihrer Dezimalbruchdarstellung nicht vorkommt ??
.
Mike Awürstchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh die Frage nicht. Selbstverständlich gibt es irrationale Zahlen, in denen bestimmte Ziffernfolgen nicht vorkommen, z.B. alle irrationalen Zahlen, die nur die Ziffern 0 und 1 haben. Welche davon jedoch algebraisch sind, ist eine andere Frage.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

... richtig, könnte man ja so konstruieren,
*staun*, an sowas hab ich garnicht gedacht . Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Ellen Bogen (Clara Fall? Mike Awürstchen? D. Osenbier? ... ?)

Vielen Dank für die Informationen. Das klingt gut. Ich werde es mir bei Gelegenheit genauer zu Gemüte führen.

@ Poff

Hier eine wunderschön regelmäßige irrationale Zahl: 0,101001000100001000001...
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
...
Hier eine wunderschön regelmäßige irrationale Zahl: 0,101001000100001000001...


schön regelmäßig unregelmäßig, ich weiß ...
zu schade, dass so eine schöne Zahl keinen Namen haben soll.


Deswegen schlage ich LEOPOLDSCHE Zahl dafür vor ...


eine besondere Bedeutung wird sich auch noch finden lassen,
wenn nicht schon vorhanden.

Eigentlich stimmt es richtig traurig, dass eine unermessliche
Vielzahl solcher schöner Zahlen keine Namen tragen, wohingegen
die in aller Richtungen krummen Dinger die bevorzugten Renner sind


. Augenzwinkern
phi Auf diesen Beitrag antworten »
irrationale Zahlen & rationale Folgen
Bin auf diesen alten Thread gestossen bei der Themensuche über limsup...

...und zu 1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,... fiel mir sloanes folgen - sammlung dazu ein. Und siehe da diese Zahl, oder zumindest die Folge hat - naja keinen Namen - aber zumindest eine ID-Nummer! Nämlich: A023531!

Eine damit verwandte Folge (A005614) (1,0,1,1,0,1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,1,1,0,1,0,1,1,0,1,...)hat sogar einem Namen: "Infinite Fibonacci word"

Augenzwinkern , phi
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