Grenzwerte, 3 Beweise. Eulersche Zahl..

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thomasgast Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwerte, 3 Beweise. Eulersche Zahl..
hallo alle miteinander.

ich hoffe ihr könnt mir helfen. und zwar habe ich bald eine matheprüfung, mir fehlen aufgrund lückenhafter anwesenheit folgende beweise:

lim (x->unendl.) (1+1/n)^n = e [eulersche zahl]
lim (x->unendl.) n-te wurzel aus (a) = 1 (a > 0)
und last but not least :
lim (x->unendl.) n-te wurzel aus (n) = 1.

ich nehme an, man kann irgendwie mit der definition einer ableitung rangehen und zeigen, dass e abgeleitet wieder e ist, aber ob das für den beweis ausreicht, kann ich nicht sagen.

wäre toll, wenn einer von euch mathe-gurus mir helfen könnte.

gruß,

-thomas.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte, 3 Beweise. Eulersche Zahl..
Zuerst mal müsstest du uns sagen, wie ihr e definiert habt! Die meisten definieren es nämlich so mit der Formel, aber wenn ihrs anders gemacht habt, dann müsstet ihr das aus der Definition herleiten. Augenzwinkern
Außerdem hast du bei allen dreien x gegen unendlich geschrieben, aber es kommt nirgendwo ein x vor! Du meinst wahrscheinlich n, aber sei mal nicht immer so aufs x festgesetzt, wie viele Schüler! Pass dich mal der Aufgabe an :P
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Hi.

ist eine schöne Anwendung des Cauchyschen Grenzwertsatzes.
Er besagt:
Aus folgt .
Ist er dir bekannt?
Es geht aber auch direkt über die Definition des Grenzwertes, da muss man nur ein bisschen geschickt abschätzen.
Die Aussage kann man dann aus der 1. Aufgabe folgern.
thomasgast Auf diesen Beitrag antworten »

nun, e taucht das erste mal so definiert auf.

und ich habe gerade meine unterlagen nach dem cauchyschen grenzwertsatz durchsucht, aber nichts gefunden.

Phillip-ER : wie könnte man es direkt über die definition des grenzwertes beweisen?
thomasgast Auf diesen Beitrag antworten »

hmm also
und 1/n ist eine nullfolge.. okay, aber wie kann ich das jetzt zusammenbringen?
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beweis geht wie folgt:

Aus dem binomischen Satz folgt:

Für erhält man daraus:
und somit
womit alles gezeigt ist.

Wie die 2. Aufgabe aus dieser zu gewinnen ist, sollte klar sein.
Gruß
Philipp
 
 
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