Stammfunktion

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Slavius Auf diesen Beitrag antworten »
Stammfunktion
Moin Jungs,

also, ich hab folgendes Integral, das ich zwar integrieren kann, jedoch mein TI89 mir nur Müll rausgibt!:

Das Integral lautet




Kann mir das bitte mal jemand integrieren.

Die Integrationsgrenzen sind egal, ich brauche nur eine Stammfuntkion, bitte Integrationsmethode mit angeben!

Dankeschön!
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stammfunktion
ohne

2*sin(x) / sqrt(cos(x)+1)
Slavius Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stammfunktion
Aha,

und wie kommt man darauf, ich hab das mit Integralsubstitution versucht, geht nicht!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stammfunktion
Verschoben

Substituiere

Danach musst du nochmal substituieren!

Wenn du die 2. Substitution nicht siehst, dann zeigst du uns erstmal wie weit du gekommen bist!

@Poff
Dein Ergebnis ist richtig, aber man kánn es doch noch relativ stark vereinfachen, nämlich so, dass man keinen Bruch mehr hat und auch kein sin mehr. Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt die Formel



Eine Stammfunktion hiervon ist



Mit Hilfe der für alle x gültigen Funktionalgleichung



kann sie nach fortgesetzt werden.


Beispiel:

Slavius Auf diesen Beitrag antworten »
Integral
Sieht nach der Substitution so aus:



mit


edit: latex-Grenzen eingefügt und latex-Codes verbessert (MSS)
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral
Du darfst doch nicht einfach das -1/sin(x) vor das Integral ziehen!!!!! Außerdem musst du die Substitution nach x umstellen und dann ableiten, also dx= ... du und dann einsetzen, wobei das ... was mit u ist!!
Slavius Auf diesen Beitrag antworten »
Moment?!
das verstehe ich jetzt nicht. wieso darf ich eine funktion, die nicht mehr von u abhängt, nicht vor das integral ziehen?
Slavius Auf diesen Beitrag antworten »
Aha
Aber ich glaub, ich verstehe es jetzt: Ich muss das sin(x) auch noch substituieren! Das ist aber beschissen. Kann man das nicht noch einfacher und schneller (sprich effizienter) machen?
Es gibt doch bestimmt noch andere Möglichkeiten diesen Integranden zu integrieren!?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral
Mathespezialschüler, so etwa: (x >= 0)

2*sqrt(2)*sin(x/2)*(-1)^[x/Pi+1]

mit [x] = n aus Z+, für n <= x < n+1
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mit rein formalem Rechnen werdet ihr hier alle nicht zum Ziel kommen.
Das Problem ist, daß alle Regeln, auch die Substitutionsregel, genaue Voraussetzungen haben, unter denen sie anwendbar sind. Diese Voraussetzungen werden meistens großzügig außer acht gelassen, weil sie sowieso immer erfüllt sind. Nein, nicht ganz: fast immer!
Ich bin einmal gespannt, ob ihr auf den Dreh kommt. Das Bild zeigt den Graphen der Funktion (blau)



sowie der Stammfunktion (rot)

Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aha
Du darfst das nicht davor ziehen, weil das x ja trotzdem noch was mit der Funktion zu tun hat. Außerdem hast du ja dann ne Funktion, die von x und von u abhängt. Das ist aber hier (und bei allen anderen Integralen einer Veränderlichen) völlig sinnlos, damit kommst du nämlich gar nicht weiter. Ich zeig dir mal was:

Wenn du ein Integral hast



und du subtituierst g(x) = u, hast aber keine g'(x) beim Integranden, dann musst du es andersrum machen:



bedeutet Umkehrfunktion.





und das musst du jetzt für dx einsetzen:



Und dann kannst du weitermachen. Das sieht vielleicht jetz sehr kompliziert aus, deswegen mach ichs mal am Beispiel vor:














So und das war jetzt, wie ichs oben allgemein gezeigt hab. Ich mach mal gleich weiter.











edit: @Leopold
Was meinst du mit den Rechenregeln? Ist mein Weg nicht mit rein formalem Rechnen? Augenzwinkern
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aha
Mathespezialschüler,

sqrt(1+cos(4)) = .588

(2*sqrt(1-cos(4))' =-.588




Zitat:
edit: @Leopold
Was meinst du mit den Rechenregeln? Ist mein Weg nicht mit rein formalem Rechnen?


Leopold meint das im Zusammenhang mit der Bestimmung des
gesuchten bestimmten Integrals ...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aha
Zitat:
Original von Poff
Leopold meint das im Zusammenhang mit der Bestimmung des
gesuchten bestimmten Integrals ...

mmmh... seh ich nich so ganz und versteh auch nich so, was du meinst. Kannst mal das Zitat geben?!

Zur Umformung, die ich meinte:





Augenzwinkern
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aha
na ja,

dein Integral ist aber falsch, wie du an dem von mir geposteten
Wert leicht nachrechnen kannst, es liefert Vorzeichenfehler
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aha
das bestimmte Integral von Pi bis b (b>=Pi) ist:

[(b-Pi)/2Pi] * 4*sqrt(2) + (Pi.. b-([(b-Pi)/2Pi]*2Pi)) int(f)

dabei ist [x] in der Bedeutung wie von mir oben angegeben.

(... vorläufiges Zwischenresultat)
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ MSS
Ohne Angabe des Gültigkeitsbereiches ist dein Ergebnis falsch!
Berechne doch einmal mit deiner Formel das Integral von 0 bis über den niemals negativen Integranden . Du erhältst ein falsches Ergebnis.
Mit dem aus meinem ersten Beitrag wird es dagegen richtig.

Das ist ein echt teuflisches Beispiel, wo man mit formaler Rechnung einfach etwas Falsches bekommt. Die Substitutionsregel ist halt doch nicht so einfach, wie manche glauben ...
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

so könnts hinkommen:
das bestimmte Integral von 0 bis b (b > 0) ist:

[(b+Pi)/2Pi] * 4*sqrt(2) + (-Pi.. b-([(b+Pi)/2Pi]*2Pi)) int(f) - 2*sqrt(2)

dabei ist [x] in der Bedeutung wie von mir oben angegeben.

noch leicht unter Vorbehalt . Augenzwinkern



*bingo*, müsste stimmen.

Jetzt fehlt nur noch das explizite best. Integral von -Pi .. x mit x< Pi
... aber das ist mir eigentlich ziemlisch Wurscht

Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du bitte auch LATEX verwenden? Man kann deine Formel kaum lesen.

Wenn man denn unbedingt eine explizite Formel für eine Stammfunktion F(x) haben will, kann man



nehmen. Das sieht aber scheußlich aus. Für praktischer halte ich die rekursive Berechnung aus meinem ersten Beitrag.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nagut, und wo liegt jetzt der Fehler in meiner Intagration?? Darin, dass ich sage, oder vielleicht an dem arccos?? verwirrt
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Hi MSS.
Kannst du denn zum Beispiel für alle x einfach x=arccos(u-1) setzen?
Gibt es zum Beispiel ein u, so dass -1=arccos(u-1)?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Jaja, ich weiß, die Kosinusfunktion ist nicht bijektiv ...
Aber bisher hatte das bei den Integralen immer geklappt damit! unglücklich
Aber mir war klar, dass das irgendwann schiefgeht.
Gustav Auf diesen Beitrag antworten »

Das Computeralgebrasystem Maxima (http://maxima.sourceforge.net) liefert für die Stammfunktion
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

die kann aber nicht allgemein stimmen wie du leicht nachrechnen
kannst ...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Gustav

Da außer an isolierten Stellen stets positiv ist, muß eine Stammfunktion von in ganz streng monoton wachsen.
Dein ist offensichtlich -periodisch, was der strengen Monotonie widerspricht!

@ alle

Ich freue mich diebisch, daß diese ganze gedankenlose Substituiererei hier endlich einmal ad absurdum geführt wird und sogar ein CAS versagt. Big Laugh

Es ist doch so simpel. Den Integranden habe ich in meinem ersten Beitrag ja schon vereinfacht. Man kann daher eine Stammfunktion über direkt angeben und muß sie nur, die -Periodizität des Integranden beachtend, nach links und rechts fortsetzen.

Denken, nicht rechnen! Das führt hier zum Ziel.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Ich freue mich NICHT diebisch, sondern ärgere mich über mich selbst,
dass ich mich in der letzten Nacht, ganz ENTGEGEN meinen
Vorsätzen kurz damit befasst habe und mich heute in Folge
gezwungenermaßen 'genötigt' sah, mich mit diesem UNSINN
nochmals zu befassen.


Augenzwinkern
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

OK vielleicht kann ich Leopold ja noch eine kleine Freude machen und poste mal was mir mein CAS liefert:



csgn ist die Signum-Funktion.


Gruß, therisen
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

das ist doch ebenfalls periodisch und kann deswegen nicht stimmen
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Schon klar, ich wollte nur noch einen weiteren (verzweifelten) Lösungsversuch eines CAS posten :]

Gruß, therisen
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

... hier kommen auch noch ein paar andere Dinge reingeplatzt

Was ist ein unbestimmtes Integral,
Was ist eine Stammfunktion ...


... dieweil definitions bzw gebrauchsabhängig, lässt sich darüber
im gewissen Rahmen streiten ...
und damit auch das ein oder andere Fragezeichen setzen.


Ist DIE Stammfunktion das bestimmte Integral der oberen Grenze
und welches ist dabei definitionsgemäß die untere Grenze ??

Ist das unbestimmte Integral DIE Stammfunktion ??


Beim bestimmten Integral liegen die Verhältnisse klarer,
über den richtigen Wert von a..b int(sqrt(1+cos(x))
lässt sich nicht deuteln, der liegt klar fest,


weniger klar scheint's mir hingegen beim Rest


Augenzwinkern
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man definiert, dass F:I->R Stammfunktion zu f:I->R heißt, wenn auf I gerade F'=f gilt, so hat F nichts mit
, zu tun, denn weder muss f auf I integrierbar sein, um eine Stammfunktion zu besitzen, noch muss G im Falle integrierbarer f eine Ableitung besitzen.
Im Falle des R-Integrals bezeichnet man mit dem unbestimmten Integral von f auf I normalerweise einfach eine Stammfunktion von f auf I und die Schreibweise " auf I"bedeutet, dass F Stammfunktion zu f aus I ist.

So kenne ich die Begriffe, aber es mag andere Definitionen geben.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

... es macht natürlich auch einen Unterschied ob man im
Zusammenhang mit einem bestimmten Integral nach einer
Stammfunktion fragt, oder einfach so.

Im ersteren Fall dürfte klar(er) sein was gemeint ...

.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will auf ein paar Dinge eingehen, die in diesem Strang bisher noch offen geblieben sind.


Zunächst zur Bedeutung des unbestimmten Integrals



Hierzu muß auf einem Intervall definiert und stetig sein. Dann bedeutet dieses Zeichen: „Bestimme eine Stammfunktion von (über diesem Intervall).“

Die Beispiele



zeigen, daß das Gleichheitszeichen hier nicht im üblichen Sinne, sondern im Sinne von „Funktionsgleichheit bis auf eine additive Konstante“ verwendet wird. Das widerspricht zwar der üblichen mathematischen Strenge (die sonst falsche Gleichung ist hier als richtig anzusehen – schauderhaft!), ist aber eine historisch gewachsene Konvention. Durchaus sinnvolle Versuche, Schreibweisen wie



einzuführen, haben sich in der Praxis nicht durchgesetzt. (Und warum der hilflose Versuch, mit einem ...+C dem Übelstand abzuhelfen, die Sache keineswegs besser macht, kann sich jeder selbst überlegen.) Im Folgenden ist also das Gleichheitszeichen immer in diesem etwas laschen Sinne zu verstehen.

Ich will nun zeigen, wie man die Substitution von MSS korrekt durchzuführen hat. (Daß dies nicht unbedingt der geschickteste Weg ist, habe ich in meinen vorigen Beiträgen schon ausgeführt, aber hier geht es mir jetzt um Richtigkeit, nicht um Eleganz.)

Zunächst einmal die Formulierung der hier zuständigen

Substitutionsregel II

Die Funktionen seien auf Intervallen definiert, so daß die Verkettung möglich ist. sei stetig, stetig differenzierbar und umkehrbar. Dann gilt:



Bei der Funktion, die durch das rechte Integral angegeben wird, ist also noch vorzuschalten. (Im Kalkül wird das meistens unterschlagen und nachträglich durch Einsetzen wieder richtiggestellt. Wir machen das gleich genau so.)

Zu bestimmen ist also



Der Integrand ist für erklärt und stetig. Aus Gründen, die sich gleich zeigen werden, schränken wir ihn ein auf das Intervall



ein und substituieren




Hierbei bildet das -Intervall eineindeutig auf das -Intervall ab mit als Umkehrung. Für die Ableitung gilt:



Und hier hat man ein weiteres Problem, nämlich fehlende Differenzierbarkeit an den Randstellen . Daher schränken wir weiter ein:



Und jetzt endlich sind alle Voraussetzungen der Substitutionsregel erfüllt, so daß man erhält:



Es gilt daher: für

Und die Randstellen binden wir jetzt mit der folgenden Argumentation nachträglich ein: Jede auf einem Intervall stetige Funktion, also auch , besitzt dort eine Stammfunktion (an Randpunkten im Sinne von einseitiger Differenzierbarkeit). Stammfunktionen sind differenzierbar, insbesondere also stetig. Da in aber stetig ist und, wie gerade gezeigt, im Innern des Intervalls eine Stammfunktion von darstellt, muß die obige Beziehung auch für gelten (Eindeutigkeit der stetigen Fortsetzung).

Und damit endlich: für .


Und jetzt betrachten wir



und substituieren


(beachte: )

Hierbei bildet das -Intervall eineindeutig auf das -Intervall ab mit als Umkehrung. Die Ableitung ist



Auch hier hat man wieder das Problem der Randstellen. Man kann sie aber wie geradeeben hinterher einbinden. Ich übergehe das jetzt und folgere



Es gilt somit: für

Jetzt haben wir eine Stammfunktion im Intervall und eine im Intervall . Beide liefern an der Stelle 0 denselben Wert (nämlich 0), so daß man sie zu einer stetigen Funktion auf zusammensetzen kann (ansonsten müßte man noch bei einer eine passende Konstante addieren). Nach dem Hauptsatz muß diese Funktion dann sogar differenzierbar sein (denn der Integrand ist stetig). Damit gilt:



Und wer Lust hat, kann zeigen, daß das im angegebenen Intervall tatsächlich gleich ist.
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Leopold.
Warum forderst du ganz am Anfang bei der Bedeutung des unbestimmten Integrals die Stetigkeit von f? Auch nicht stetige Funktionen können ja Stammfunktionen haben.

Auch sehe ich nicht, wie man daraus, dass sowohl x^3+5 als auch x^3+3 eine Stammfunktion zu 3x^2 ist, etwas in der Art von 3=5 folgern kann, da die Schreibweise
ja nichts anderes bedeutet als "x^3+5 ist Stammfunktion zu 3x^2" bzw "x^3+5 ist ein unbestimmtes Integral von 3x^2", die Gleichheit ist also nicht im Sinne einer algebraischen Gleichung zu verstehen.
Auch die korrekte Schreibweise
heißt nicht 0=3, sondern lediglich, dass, wenn eine Stammfunktion zu f vorliegt, auch ihre Summe mit der Funktion 3 eine solche ist, also wieder keine algebraische Gleichheit.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

ich denke das muss insgesamt etwas anders 'gesehen' werden.

Die hier und da, ob nun in Tabellenwerken oder auch sonstwo
auftauchenden 'unbestimmten Integrale' oder auch
'Stammfunktionen' sind stets auf ihre Intervallgültigkeit zu
überprüfen. Die steht nämlich meist NICHT mit dabei und
das hier aufgetretene Problem kommt mehrfach noch anderswo
vor, besonderes bei periodischen ständig positiven oder negativen
Funktionen.


Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Philipp-ER
die Gleichheit ist also nicht im Sinne einer algebraischen Gleichung zu verstehen


Genau das sage ich ja auch. Und wenn man "=" so, wie du es beschrieben hast, versteht, dann ist eine wahre Aussage, denn bis auf eine additive Konstante sind die konstanten Funktionen und doch gleich. Oder willst du das bestreiten? Big Laugh

Zum andern Punkt.
R-Integrierbarkeit und Stammfunktion besitzend sind keine äquivalenten Bedingungen. So ist die in x=0 mit dem Wert 0 stetig ergänzte Funktion über ganz differenzierbar, aber etwa über nicht R-integrierbar.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
So ist die in x=0 mit dem Wert 0 stetig ergänzte Funktion über ganz differenzierbar, aber etwa über nicht R-integrierbar.

Sicher? ist bis auf den Nullpunkt stetig, und in jeder Nullumgebung aber zumindest beschränkt, das sollte m.E. für die Riemann-Integrierbarkeit ausreichen. Oder übersehe ich jetzt irgendwas? verwirrt

Bei wäre hingegen zuzustimmen.


P.S.: Bin auf den alten Thread durch die heutige Verlinkung (von Leopold selbst) gekommen. Normalerweise ist es ja nicht meine Art, in Uralt-Threads zu posten. Big Laugh
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