basis bild, kern

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Monstar Auf diesen Beitrag antworten »
basis bild, kern
hallo, bin etwas unsicher bei folgender aufgabe: ich habe die abbildung:


f(x1,x2,x3):=(x1 + x2 + 3x3, 2x1 + 2x2 + 6x3, 2x1 + 3x2 + 8x3, -x1 + x2 + x3, 3x1 + x2 + 5x3)

a) bestimme basis von bild und kern.

da hab ich für den kern: (die abbildung als matrix geschrieben und 0 gesetzt)

und für das bild: (da hab ich die spalten der matrix durch elementare umformungen auf zeilen stufenform gebracht und dabei ist eine spalte 0 geworden -> linear abhängig also hab ich eine weggelassen, ist das richtig so?)

b) gib eine basis von an. wo ist da jetzt der unterschied zur a)? irgendwas bring ich wohl durcheinander..

danke schonmal im vorraus!

edit: ja tippfehler
Toxman Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der a solltest du eine Basis für den Kern beschreiben, also etwas im Urbildraum (R^3).
Bei der dritten sollst du jetzt eine Basis von R^5/Bild darstellen, also eine Basis für eine Teilmenge im R^5 die genau die Elemente beinhaltet, die nicht im Bild der Abbildung sind.

'f(x1,x2,x3):=(x1 + x2 + 3x3, 2x1 + 2x2 + 6x3, 2x1 + 3x2 + 8x3, -x1 + x1 + x3, 3x1 + x2 + 5x3)''

Ich geh mal davon aus, dass das ein Schreibfehler ist, oder?
Monstar Auf diesen Beitrag antworten »

hmm hab ich das nicht? der vektor ist doch in R^3, oder?
ach und bei der b) das heißt "ohne", ich hab das verwechselt mit "eingeschränkt auf". hast mir noch einen tipp wie ich die bekommen kann?
Toxman Auf diesen Beitrag antworten »

Die Vektorart bei der a stimmt schon. Wobei ich auf (1,2,-1) komme.

Wie das mit der b genau funktioniert, weiss ich noch nicht genau.
Monstar Auf diesen Beitrag antworten »

hm also ich hab die a) nochmal nachgerechnet, hab einen koeffizienten unterschlagen und komm jetzt auf (-1,-2,1) was offenbar das gleiche ist wie deins. muss ich denn beim bild nicht einfach nur rausfinden welche vektoren linear abhängig sind und diese entsprechend weglassen?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Toxman
Bei der dritten sollst du jetzt eine Basis von R^5/Bild darstellen, also eine Basis für eine Teilmenge im R^5 die genau die Elemente beinhaltet, die nicht im Bild der Abbildung sind.

Na, das ist natürlich kompletter Blödsinn. Eine solche Menge ist ja im Allgemeinen kein Vektorraum. Ne, R^5/Bild(f) ist wie folgt definiert: Man nennt x und y aus R^5 äquivalent, falls x - y aus Bild(f) ist. Diese Relation ist dann eine Äquivalenzrelation (also xRy <==> x - y aus Bild(f)). R^5/Bild(f) ist nun definiert als die Menge aller Äquivalenzklassen. Man sieht leicht, dass dabei ein Vektorraum rauskommt mit

[x] + [y] := [x + y]
t[x] := [tx].
 
 
Toxman Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Das Bild der Abbildung entspricht dem span der Bilder der Basisvektoren.

Meine Vermutung für die b ist die, dass du die beiden Vektoren, die den Lösungsraum aufspannen zu einer Basis des R^5 ergänzen musst (funktioniert sicher nach dem Basisergänzungssatz, da die beiden linear unabhängig sind und die drei anderen Vektoren in der Basis bilden dann eine Basis des R^5/Bild, aber bewiesen habe ich das noch nicht. Edit: Stimmt leider doch nicht. Wenn ich z.B. aus dem R^3 eine Urspungsgerade herrausnehme, habe ich keinen Vektorraum mehr, zu dem ich eine Basis bauen könnte. )

Zitat:
Na, das ist natürlich kompletter Blödsinn

Das habe ich nach etwas rumrechnen nun leider auch rausgefunden. traurig
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir meinen Beitrag an, Toxman.
Monstar Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Na, das ist natürlich kompletter Blödsinn. Eine solche Menge ist ja im Allgemeinen kein Vektorraum. Ne, R^5/Bild(f) ist wie folgt definiert: Man nennt x und y aus R^5 äquivalent, falls x - y aus Bild(f) ist. Diese Relation ist dann eine Äquivalenzrelation (also xRy <==> x - y aus Bild(f)). R^5/Bild(f) ist nun definiert als die Menge aller Äquivalenzklassen. Man sieht leicht, dass dabei ein Vektorraum rauskommt mit

[x] + [y] := [x + y]
t[x] := [tx].


verwirrt
hmm was bedeutet das jetzt für mich?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Weißt du, was eine Äquivalenzrelation ist?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

http://de.wikipedia.org/wiki/Faktorraum
http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation
Monstar Auf diesen Beitrag antworten »

naja sowas in der art wie
a~b und b~c => a~c
a~a
a~b <=> b~a
versteh grad nich so ganz vorauf das hinausläuft Hilfe

edit: das erinnter mich irgendwie an das thema quotientenvektorraum..
also ist hier nach der menge aller nebenklassen des UVR's gefragt, der von dem bild aufgespannt wird?
Monstar Auf diesen Beitrag antworten »

also müsste ich dann die basis von Bild(f) zu einer von R^5 ergänzen und dann ist x + (die drei ergänzten vektoren) meine basis?
Toxman Auf diesen Beitrag antworten »

Doch nicht...
Monstar Auf diesen Beitrag antworten »

ist das jetzt korrekt wenn ich schreibe:
Basis des Bildes ergänzt zu einer Basis von R^5:



die vektoren zusammen als matrix aufgefasst und die determinante berechnet. da kam raus die ist 4 != 0 => voller rang => kern(L) = 0 => injektiv => surjektiv also basis von R^5

also ist eine basis von R^5/Bild(f) =
Monstar Auf diesen Beitrag antworten »

sorry fürs pushen aber kann man das jetzt so machen oder ist das falsch?
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