bijektive abb. mit indikator funktion

Neue Frage »

Corni Auf diesen Beitrag antworten »
bijektive abb. mit indikator funktion
hallo zusammen hab mal eine aufgabe für euch an der ich leider scheitere Augenzwinkern


Sei I eine Menge. Für eine Teilmenge JÍI bezeichne eJ: I -> {0,1} die so genannte Indikatorfunktion von J (bzgl. I) mit

http://mypage.bluewin.ch/famszekely/corni/mprender.png

Es ist eI=1 und eØ=0. Man zeige:
Die Abbildung J -> eJ ist eine bijektive Abbildung der Potenzmenge P(I) auf die Menge {0,1}I aller Abbildungen I -> {0,1}

Nach einigem suchen und nachlesen heisst das für mich auf deutsch:

|{0,1}I| = | 2 | | I |

wobei | I | = Kard I = Anz I = Also die Anzahl der Elemente von I ist.

Würde gern wissen ob es richtig übersetzt ist Augenzwinkern und ob es jemand lösen kann, ich kann es leider nicht unglücklich


mfg Corni
Corni Auf diesen Beitrag antworten »

|{0,1}^I| = | 2 |^ | I | soll das heissen smile
martins1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe folgende Fragen zur Aufgabenstellung:
1. Wie ist eJ definiert? Was bedeuten die Zeichen zweiten Fall: I-J° ??
Kann es sein, dass du etwas vertauscht hast? Ist nicht eJ defniert als:
eJ: I -> {0,1}
eJ(i)=1, wenn i in J
eJ(i)=0, wenn i nicht in J

2. Was genau heißt "{0,1}I" ?? Das kartesische Produkt oder was anderes??

Wenn das geklärt wurde, sollte es nicht allzu schwer sein, es zu lösen.
Corni^ Auf diesen Beitrag antworten »

args, sorry ... blöde formatierungs fehler Augenzwinkern

Also natürlich hast du bei der fallunterscheidung recht!
1 falls i in J
0 falls i nicht in J also in i - j

der ° war ursprünglich mal ein normaler punkt, ich weiss nicht wie der nach da oben gerutscht ist.

und {0,1}I soll heissen wie ich mich auch schon korregiert hab {0,1}^I
guest Auf diesen Beitrag antworten »

doch nich so einfach? smile
jama Auf diesen Beitrag antworten »

ich kann´s jedenfalls nicht unglücklich
 
 
martins1 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nicht schwer, nur hatte ich keine Zeit.

Also, eine Funktion ist bijektiv, wenn sie injektiv und srurjektiv ist.
M={g|g:I->{0,1}} ist die Menge aller Abbildungen von I auf {0,1}. Nennen wir die Abbildung f:P(I)-->M; J->eJ

Teil 1: f ist injektiv
Zu zeigen: A,B el P(I): A ungleich B ==> f(A) ungleich f(B)
Annahme: A ungleich B. Daraus folgt: es gibt mindestens ein Element, dass in einer Menge ist, in der anderen aber nicht. Nehmen wir an: a el A und a nicht el B.
Daraus folgt: f(A) ist eine Funktion, also f(A)(a)=1 nach Definition und f(B)(a)=0, also f(A) ungleich f(B).

Teil 2: f ist surjektiv
Zu zeigen: Fuer alle h el M: Es existiert ein A, sodass f(A)=h.
Beweis: Sei h el M. Sei dann A={a el I|h(a)=1}. Offensichtlich gilt A teilmenge von I und daher A el P(I). Außerdem gilt f(A)=h nach Definition von eA.

Die Funktion f ist also injektiv und surjektiv und damit bijektiv.
martins1 Auf diesen Beitrag antworten »

Es soll heißen f: P(I) ...
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »