bijektive abb. mit indikator funktion |
30.10.2003, 00:30 | Corni | Auf diesen Beitrag antworten » |
bijektive abb. mit indikator funktion Sei I eine Menge. Für eine Teilmenge JÍI bezeichne eJ: I -> {0,1} die so genannte Indikatorfunktion von J (bzgl. I) mit http://mypage.bluewin.ch/famszekely/corni/mprender.png Es ist eI=1 und eØ=0. Man zeige: Die Abbildung J -> eJ ist eine bijektive Abbildung der Potenzmenge P(I) auf die Menge {0,1}I aller Abbildungen I -> {0,1} Nach einigem suchen und nachlesen heisst das für mich auf deutsch: |{0,1}I| = | 2 | | I | wobei | I | = Kard I = Anz I = Also die Anzahl der Elemente von I ist. Würde gern wissen ob es richtig übersetzt ist und ob es jemand lösen kann, ich kann es leider nicht mfg Corni |
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30.10.2003, 00:39 | Corni | Auf diesen Beitrag antworten » |
|{0,1}^I| = | 2 |^ | I | soll das heissen |
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30.10.2003, 01:38 | martins1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich habe folgende Fragen zur Aufgabenstellung: 1. Wie ist eJ definiert? Was bedeuten die Zeichen zweiten Fall: I-J° ?? Kann es sein, dass du etwas vertauscht hast? Ist nicht eJ defniert als: eJ: I -> {0,1} eJ(i)=1, wenn i in J eJ(i)=0, wenn i nicht in J 2. Was genau heißt "{0,1}I" ?? Das kartesische Produkt oder was anderes?? Wenn das geklärt wurde, sollte es nicht allzu schwer sein, es zu lösen. |
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30.10.2003, 12:50 | Corni^ | Auf diesen Beitrag antworten » |
args, sorry ... blöde formatierungs fehler Also natürlich hast du bei der fallunterscheidung recht! 1 falls i in J 0 falls i nicht in J also in i - j der ° war ursprünglich mal ein normaler punkt, ich weiss nicht wie der nach da oben gerutscht ist. und {0,1}I soll heissen wie ich mich auch schon korregiert hab {0,1}^I |
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31.10.2003, 18:53 | guest | Auf diesen Beitrag antworten » |
doch nich so einfach? |
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31.10.2003, 21:16 | jama | Auf diesen Beitrag antworten » |
ich kann´s jedenfalls nicht |
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31.10.2003, 22:31 | martins1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es ist nicht schwer, nur hatte ich keine Zeit. Also, eine Funktion ist bijektiv, wenn sie injektiv und srurjektiv ist. M={g|g:I->{0,1}} ist die Menge aller Abbildungen von I auf {0,1}. Nennen wir die Abbildung f:P(I)-->M; J->eJ Teil 1: f ist injektiv Zu zeigen: A,B el P(I): A ungleich B ==> f(A) ungleich f(B) Annahme: A ungleich B. Daraus folgt: es gibt mindestens ein Element, dass in einer Menge ist, in der anderen aber nicht. Nehmen wir an: a el A und a nicht el B. Daraus folgt: f(A) ist eine Funktion, also f(A)(a)=1 nach Definition und f(B)(a)=0, also f(A) ungleich f(B). Teil 2: f ist surjektiv Zu zeigen: Fuer alle h el M: Es existiert ein A, sodass f(A)=h. Beweis: Sei h el M. Sei dann A={a el I|h(a)=1}. Offensichtlich gilt A teilmenge von I und daher A el P(I). Außerdem gilt f(A)=h nach Definition von eA. Die Funktion f ist also injektiv und surjektiv und damit bijektiv. |
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31.10.2003, 22:32 | martins1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es soll heißen f: P(I) ... |
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