Keine Lösungen in Z

20.09.2004, 17:57

Gustav

Keine Lösungen in Z

Nach dem Fermatschen Satz hat die Gleichung
$\begin{eqnarray*} x^n+y^n = z^n \end{eqnarray*}$ mit n > 2 keine ganzzahligen, nichttrivialen Lösungen. Ich versuche den Beweis für den Spezial n = 3 zu verstehen, doch hierbei ergibt sich ein Verständnisproblem. Zu Beginn des Beweises wird argumentiert:

Zitat:

Wir betrachten Zahlen der Form
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{2}(1+\sqrt{-3})+\frac{b}{2}(1-\sqrt{-3}) | a,b \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

und behaupten

$\begin{eqnarray*} x^3+y^3 = z^3 \end{eqnarray*}$

ist in diesem faktoriellen Ring unlösbar. [...]

Hier fängt das Problem schon an: m.E. nach ist dieser Ring nicht faktoriell, denn ist es z.B.:

$\begin{eqnarray*} 4 = 2 \cdot 2 = (1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3}) \end{eqnarray*}$

Folglich ist die Zerlegung in irreduzible Elemente nicht eindeutig und der Ring nicht faktoriell, oder?

21.09.2004, 12:19

Brynn

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Z[sqrt(-3)] ist nicht faktoriell (wegen genau deiner Begründung). Aber dein Ring ist ja nicht Z[sqrt(-3)], wie ich vermute, wenn er die Zahlenmenge von da oben sein soll - wobei mir die Zahlenmenge von da oben erstmal nicht gerade wie ein Ring aussieht... *ggg*

Hast du einen Link zu dem Beweis oder eine Literaturangabe?

Gruss,
Brynn

21.09.2004, 18:57

Brynnlein mit Link

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Hier
http://www.math.tu-clausthal.de/Arbeitsg...ege/Fermat2.pdf
ist ein wunderschönes Skript mit wohl einem ähnlichen Beweis, wie du ihn vor dir hast. Und dein Ring wird dort, glaube ich, auch genannt:
Z[p] mit p = 1/2*(1 + sqrt(-3)).
Der Ring ist faktoriell und enthält deine obige Zahlenmenge.

LG,
Brynn

21.09.2004, 20:24

Gustav

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Vielen Dank für den Link!

Der von mir genannte Ring ist deshalb faktoriell, weil die Zerlegung in irreduzible Elemente nur bis auf die Reihenfolge der Faktoren und bis auf assoziierte Elemente eindeutig sein muss.
Zwei Elemente p und q heissen assoziiert, wenn es eine Einheit e gibt, s.d. $\begin{eqnarray*} p \cdot e = q \end{eqnarray*}$ ist.

Man rechnet leicht nach, dass in dem angegebenen Ring die Zahlen, die multiplikativ invertierbar sind, gerade die sechs Einheitswurzeln sind, also auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(1+\sqrt{-3}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(1-\sqrt{-3}) \end{eqnarray*}$

Wenn wir die irreduzible Zahl 2 mit diesen beiden Einheiten multiplizieren, erhalten wir die zu 2 assoziierten irreduziblen Elemente $\begin{eqnarray*} (1-\sqrt{-3}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1+\sqrt{-3}) \end{eqnarray*}$ .

Damit sind die Faktorzerlegungen $\begin{eqnarray*} 2\cdot2 = 4 = (1-\sqrt{-3}) \cdot (1+\sqrt{-3}) \end{eqnarray*}$ nur "unwesentlich verschieden".

21.09.2004, 20:36

Phil Fraß

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Hallo Gustav,
du hast zwar keinen Ring genannt, aber du das Recht: Der von Brynnlein genannte Ring Z[p] ist faktoriell und die im Startbeitrag angegebenen Zerlegungen sind im wesentlichen gleich.

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