Integral-Methoden

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Romeo Auf diesen Beitrag antworten »
Integral-Methoden
Gibt es grundsätzliche Muster, wann sich bei Integralen die Substitutions-Methode und wann die partielle Integration besser eignen? Kann man sagen, dass sich bei Standard-Produkten die Substitution und bei verschachteln Funktionen die partielle Integration empfiehlt?
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral-Methoden
Zitat:
Original von Romeo
(...) das sich bei Standard-Produkten die Substitution und bei verschachteln Funktionen die partielle Integration empfiehlt?


Ich hätte es genau andersherum gesagt.

Substitution empfieht sich wenn man dadurch
geschickt kürzen kann.
Partielle Integration wenn ein Glied, z.B. x², in der
Potenz immer kleiner wird.

Aber wahrscheinlich gibts so viele Ausnahmen, das man
sich daran nicht orientieren kann : )
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral-Methoden
das Beste ist, man überlässt die Integration den Maschinen.

In 10 - 15 Jahren wird sich kaum noch ein Mensch damit
ERNSTHAFT befassen. Viel zu idiotisch ist die ganze Müh.

Hinzukommt, dass das meiste überhaupt nicht lösbar ist.
Das was in der Realität an wahren Problemem lauert, ist fast
ALLES soo NICHT integrierbar.


Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral-Methoden
Zitat:
Original von Poff
Hinzukommt, dass das meiste überhaupt nicht lösbar ist.
Das was in der Realität an wahren Problemem lauert, ist fast
ALLES soo NICHT integrierbar.


numerisch schon. Augenzwinkern
Blindworks Auf diesen Beitrag antworten »

Integrierbar ist alles !!!

Ich würde dir raten, immer ersteinmal Substitution zu benutzen. (wenn du keine Ahnung hast)
Das geht in den meisten Fällen.
Man muss sich einfach nur überlegen: Wie sieht der Term aus, den ich substituiert habe nachdem ich ihn abgeleitet habe. Meistens kürzt sich der term dann mit dem ursprünglichen Term.

Bsp: x * e^(x^2)
subst. von x^2 -> abgeleitet 2x kürzt sich mit dem x in der ursprünglichen gleichung raus. 1/2 geht vor das Integral. Und übrig bleibt e^y. Und das integriert ergibt bekanntlich e^y.

Und abfahrt......
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

... na, dann integrier doch mal x^x
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral-Methoden
Zitat:
Original von Poff
das Beste ist, man überlässt die Integration den Maschinen.

In 10 - 15 Jahren wird sich kaum noch ein Mensch damit
ERNSTHAFT befassen. Viel zu idiotisch ist die ganze Müh.

Hinzukommt, dass das meiste überhaupt nicht lösbar ist.
Das was in der Realität an wahren Problemem lauert, ist fast
ALLES soo NICHT integrierbar.


Augenzwinkern



Eine sehr radikale Ansicht, der ich nur zum Teil zustimme.

Sofern du das "praktische Rechnen" meinst, gebe ich dir recht. Wozu diese ganze Integrationsakrobatik, wenn mir die billigsten Programme schon Integrationen auf 15 Stellen genau liefern?
Ich gebe dir aber nicht recht, sofern es ums "theoretische Rechnen", sprich: ums Beweisen geht. Zusammenhänge zwischen Funktionen, Funktionalgleichungen und damit die tiefere Einsicht in diese Dinge wird man nur gewinnen, wenn man auch den Integrationskalkül beherrscht.
Romeo Auf diesen Beitrag antworten »

@Brainfrost: Oha, ich meinte es auch genau andersherum, habe einfach nur die beiden Begriffe vertauscht. Natürlich meinte ich, dass man Produkte per partieller und Verschachtelungen mit Substitution löst!Lehrer
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist bewusst etwas 'überspitzt' formuliert. Deswegen teile
ich auch deinen Einwand im gewissen Rahmen, der da in etwa
heißt 'beherrschen' des damit verbundenen Umfeldes.

Das ist für mich aber etwas anderes, als explizites Integrieren.


Aber es steht sogar nochwas im Raum, das man nur nicht so
recht annehmen will. Letztendlich ist ein Großteil der Mathematik
TROTZ aller verborgener Raffinesse, wenn es ganz haarscharf unter
die Lupe genommen wird FORMALER Kram mit Rückgriff auf einen
großen Erfahrungsschatz. Aber genau dies KÖNNEN auch die
MASCHINEN leisten, wie an dem ständig fortschreitenden
Erfolg entsprechender Systeme leicht zu erkennen ist.


Meine These ist deswegen auch, dass der Mensch 'Auslaufmodell'
ist. Das habe ich schon an anderer Stelle geschrieben.

Die ständig fortschreitenden Lernmühen, nur um kleine Spezial-
gebiete noch beherrschen zu können, wird er auf Dauer NICHT
sinnvoll mehr bewältigen können ...


Augenzwinkern
Romeo Auf diesen Beitrag antworten »

Alles sehr interessant, was ihr schreibt Tanzen So tief bin ich aber nicht in der Materie drin, als dass ich mitreden könnte. Hat noch einer vlt. eine Antwort auf meine Frage?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Eine allgemeingültige Regel gibt es nicht - leider!
Das einzige, was man sagen kann: Integrale von einem gewissen Typ lassen sich mit partieller Integration oder Substitution behandeln.


Beispiel 1

Für Integrale vom Typ





mit positivem ganzzahligem k empfiehlt sich partielle Integration, denn vom zweiten Faktor kennt man eine Stammfunktion und der erste wird durch Differentiation im Grad erniedrigt.
Durch mehrmalige Anwendung von partieller Integration kommt man ans Ziel. (Statt der Potenz kann als erster Faktor auch ein Polynom stehen.)


Beispiel 2

Bei Integralen, die den Term enthalten, kommt man gelegentlich mit der Substitution weiter, indem man sich die Funktionalgleichung zunutze macht.


Beispiel 3

Bei Integralen, die den Term enthalten, kommt man gelegentlich mit der Substitution weiter, indem man sich die Funktionalgleichung zunutze macht.
Bei Integralen, die den Term enthalten, kommt man gelegentlich mit der Substitution weiter, indem man sich die Funktionalgleichung zunutze macht.


Beispiel 4

Nützlich sind auch die beiden folgenden Formeln




Die erste bzw. zweite Formel liefern z.B. sofort





Und so gibt es viele weitere Typen. In einem guten Analysisbuch, eher anwendungsorientiert, findet man sicher viele dieser Typen mit Beispielen.
Und die wichtigste Regel: Probieren, probieren, probieren!
Mit der Zeit kriegt man Erfahrung.
Und nicht vergessen: Integrieren ist eine Kunst ...
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
...
Und nicht vergessen: Integrieren ist eine Kunst ...

Soweit ich weiß ist das Aufsuchen einer Stammfunktion genauso stumpf algorithmisch wie das Ableiten (Stichwort Risch Algorithmus) und bei nicht allzu komplizierten Funktionen durchaus auch gut von Hand machbar. Die Bauernweisheit "Differenzieren ist Handwerk, Integrieren ist Kunst" ist aus diesem Sichtpunkt also falsch.
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