Partialbruchzerlegung |
| 21.09.2004, 18:50 | RedFlash | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Partialbruchzerlegung ist mein erstes posting hier, aber ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen! Mittlerweile hab ich schon viele Aufgabentypen durch, aber bei folgender Aufgabe weiß ich nich weiter 
Ist mit PBZ zu lösen: Integral von 1/[x^2 - 1] dx Diesen Aufgabentyp gibts in einigen Versionen hier: z.B x^2/[1 - x^4] dx oder x/[x^3 - 1] dx Was ich bräuchte wäre ein allg. Lösungsansatz für diese Aufgabensorte, da man die PBZ ja generell in 4 Fälle einteilen kann! Vielen Dank schon mal für eure Bemühungen! |
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| 21.09.2004, 19:16 | Selli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zunächst muss man den Nenner faktorisieren: 1/(x^2-1)=1/((x-1)(x+1)) Danach muss man zwei Zahlen a und b finden, für die gilt: 1/((x-1)(x+1))=a/(x-1)+b/(x+1) [1] a/(x-1)+b/(x+1)=[a(x+1)+b(x-1)]/[(x-1)(x+1)] =[ax+a+bx-b]/[(x-1)(x+1)] Da der Zähler des Bruches eins sein soll gilt: ax+a+bx-b=1 --> x(a+b)+a-b=1 Da kein x vorkommt muss a+b=0 und daher auch a-b=1 -->a=-b und a-(-a)=1 --> a=1/2 und b=-1/2 Daraus folgt: 1/[(x-1)(x+1)]=0.5/(x-1)+0.5/(x-1) (siehe [1]) Die Summe kann man jetzt problemlos integrieren (Logarithmus als Stammfkt.) |
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| 21.09.2004, 19:30 | RedFlash | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja danke dir habs gecheckt 
aber gibt es nicht auch aufgaben wie z.b. x/[x^3 - 1] dx in dem der Nenner nicht faktorisiert werden kann..? wie sieht es dann da mit dem Ansatz aus? |
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| 21.09.2004, 19:47 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Verschoben Wenn der Nenner nicht faktorisiert werden kann, dann geht das nicht, aber der Nenner kann hier (und meistens) faktorisiert werden. Du musst den Nenner in Linearfaktoren zerlegen! (solange die Nullstellen reell sind): Verstanden? \\EDIT by sommer87: ² im Latex durch ^2 ersetzt 
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| 21.09.2004, 20:00 | RedFlash | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
jepp, die Zerlegung ist hier auch möglich bin allein irgendwie nich draufgekommen.. :P thx P.S. das Board ist einfach genial! |
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| 21.09.2004, 20:56 | RedFlash | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Mathespezialschüler hmm... jetzt hab ich die letzte aufgabe soweit gerechnet und es ergibt sich beim 2. Summanden der zu integrieren ist: -1/3*Integral von x - 1 / [x²+x+1] dx -> kam von (Bx+C)/(x²+x+1) Die Determinate des Nenners ist hier negativ 
Bei ner Substitution mit u=x^2+x und du=2x+1 komm ich hier auch nicht weiter... da im zähler des Integranden nur x-1 auftaucht.. 
please help me, 
was muss ich allg. machen wenn die Deteminante im Nenner negativ ist?hilft hier evtl. dieser Ansatz Bx+C erneut? |
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| 21.09.2004, 21:12 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
musst du so integrieren. Mir ist klar, dass die Determinante negativ ist, deswegen hab ich es ja auch so gelassen. Du findest halt keine weiteren reellen Nullstellen mehr, deswegen kannst du auch keine Partialbruchzerlegung machen! Du musst es so, wie es is integrieren oder das, was du ganz am Anfang hattest, integrieren. |
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| 21.09.2004, 21:41 | RedFlash | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm, hab irgendwie ein verständnisproblem wie ich den Term x - 1 / [x²+x+1] dx so noch weiter integrieren kann.. zuerst trennen in x / [x²+x+1] dx - 1/ [x²+x+1] dx bringt mir aber denk ich auch nix
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| 21.09.2004, 21:47 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ehrlich gesagt, hab ich im Moment auch keine Idee, das zu integrieren.
Vielleicht hat jmd. anderes ja ne Idee. |
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| 21.09.2004, 21:59 | RedFlash | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
jo danke dir aber schon mal soweit! das dumme is nur das solche fälle glaub ich schon des öfteren auftreten könnten. Falls jemand von euch ne Lösung rausfindet, bitte sofort posten. falls ich es eher rausfinde werds ich machen
Mfg |
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| 22.09.2004, 11:22 | RedFlash | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Falls es jemanden interessiert, kann ich die Formel für die Integration dieses Ausdrucks per email verschicken. Habe die Formel von einem user namens Jan erhalten, danke nochmal! Also bei Interesse einfach posten
Mfg |
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| 22.09.2004, 15:55 | sommer87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, wäre lieb, wenn du die Lösung hier im Forum zur verfügung stellen könntest. Dann kann sie jeder einsehen.
Wenn du keine Zeit hast es als Post zu schreiben vll die Mail als Anhang zum Post hinzufügen
Danke
) |
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| 23.09.2004, 13:24 | RedFlash | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hier die Lösungsansätze a) mit der Formel siehe Dateianhang b) "von Hand" ****Jan wrote********************************************* ja, die formel gibts normalerweise nicht in formelsammlungen, weil dann alles viel zu einfach wäre. wenn man die immer benutzen würde/dürfte, wär alles viel zu einfach;-) bei solchen brüchen kann man nämlich auch von hand integrieren: bsp: integral von 1/(x²+x+1) ist was? 1. versuche, aus dem nenner etwas in der form (...)²+ "zahl" zu erhalten. das geht wie folgt: wenn der obige nenner ein term aus einer binomischen formel sein würde, dann wäre das (x+ 0,5)², aber (x+ 0,5)² ist ausmultipliziert x²+x+0,25. im ausgangsbruch steht aber ...+1, also kann man den ausgangsnenner zerlegen in (x+0.5)² +0,75. wenn man das wieder ausmultipliziert und zusammen fasst, kommt man wieder auf x²+x+1. also ist schon mal 1/(x²+x+1) dasselbe wie 1/((x+0,5)²+0,75) 2. nun muß die 0,75 zu einer 1 werden, damit man später das integral auf den arctan zurückführen kann. das wird so gemacht: 1/((x+0.5)²+0,75)=1/(0,75((4/3)(x+0,5)²+1))=1/0,75 *1/((4/3)(x+0,5)²+1) nun muß man noch die 4/3 mit in die quadratische klammer ziehen, so dass diese zusammengefasst folgende ergibt: (4/3)(x+0,5)²=((2/"wurzel aus 3")(x+0,5))² 3. nun muss man diesen klammerinhalt substituieren un kann dann integrieren, weil man dann da stehen hat: 1/0,75 *1/(z² +1). davon die stammfunktion ist 1/0,75 *arctan(z) 4. rücksubstitution5. fertig. ********************************************************* Danke nochmals! Gruß Tobias |
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| 23.09.2004, 13:49 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
... schön gemacht, aber zugleich ein weiterer Beleg dafür, dass es letztendlich FIXER formaler Kram ist .
es gibt spezielle Integralformeltabellen mit mehr als 1000 gelisteteter Integrale. Wer keine davon nutzen will muss eben das Rad ständig neu erfinden. Warum es nur diese Tabellen gibt Beim Prinzip der 'Vollständigen Induktion' gibt man sich ja auch damit zufrieden, eine SCHON vorhandene Formel auf Gültigkeit zuverifizieren ANSTATT sich zwingend an deren Herleitung ranmachen zu müssen ... |
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| 23.09.2004, 17:35 | RedFlash | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Poff naja, für sich schon aber
das dauert wohl auchn bißchen bis man das richtige gefunden hat
Wenn man die Vorgehensweise verstanden hat, ist das denk ich hier in diesem Fall schneller.. Und wie gesagt in der FS taucht die Formel nicht auf! Mfg |
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| 23.09.2004, 17:52 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
... nein, das Auffinden ist kein größerers Problem (ca.1min), weil die nach bestimmten Charakteristika sortiert sind. Klar, wenn du zum ersten Mal in sowas reinschaust schon, weil du das Sortierungssystem ja noch nicht kennst ... Weißt du, jeder der hier groß angibt kennt diese Tabellen, zumindest in Teilen. Das zeigt 'dir' dann schon mal das Ziel, dann kannst immer noch überlegen wie das hinzubasteln wäre
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| 23.09.2004, 19:33 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich denke, wer alles korrekt machen will, der leitet das einmal her und dann kann man die Tabellen benutzen (so wird ichs machen nach meiner Philosophie)
Und das ist auch das einzige, was ich an der vollständigen Induktion nicht mag. Denn alles andere ist ja sonst sehr hilfreich und schnell sowie auch (meistens) elegant. |
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| 23.09.2004, 23:42 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
... dem schließ ich mich zwar an, nur hälst du das Prinzip nicht durch . |
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