Rationalmachen des Nenners

21.09.2004, 21:16

Sören

Rationalmachen des Nenners

Hallo.
Ich gebe einem Schüler der 9. Klasse (Gymnasium) Nachhilfe und habe jetzt selber folgendes Problem: Ich komme hier einfach bei diesen Aufgaben nicht weiter!
Die Aufgabe besteht darin, den Nenner "Wurzelfrei" zu machen...

3*WURZEL(63) / 6*WURZEL(2) - 3*WURZEL(7)

Das erste Problem gleich am Anfang ist, ob ich kürzen darf? Eigentlich nicht, weil das "minus" - Zeichen im Nenner ist, oder?

Ein weiteres Problem ist, ob ich jetzt beim rationieren nur die WURZEL(2) und die WURZEL(7) nehme (verbunden mit einem "+"), oder auch die 6 und die 3 (das was vor der Klammer steht) ??? Das ist das größte Problem...

Wenn jemand etwas Zeit hat, würde ich mich freuen, wenn mir jemand die oben genannte Aufgabe einmal komplet ausrechnen (mit allen Schritten) könnte, damit ich mich da noch einmal reindenken kann...

Danke für die Hilfe jetzt schon...

gruß
Sören

21.09.2004, 21:57

carsten

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zum Kuerzen:
im Nenner 3 ausklammern, die kann dann gekuerzt werden

dann erweitern mit (2*wurzel(2)+wurzel(7))

noch ein tip: wurzel(63) laesst sich auch vereinfachen

Gruesse
Carsten

21.09.2004, 22:21

Enzerama

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Ich nehme an dein Term lautet so:

$\begin{eqnarray*} \frac{3\cdot \sqrt{63} }{6\cdot \sqrt{2} -3\cdot \sqrt{7} } \end{eqnarray*}$

Ich würde dir empfehlen, erst mal zähler und nennen durch 3 zu dividieren, dann erhältst du:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{63}}{2\cdot \sqrt{2} -\sqrt{7} } \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt ein Trick: Du erweiterst den Bruch mit
$\begin{eqnarray*} 2\cdot \sqrt{2} +\sqrt{7} \end{eqnarray*}$ , denn dann kannst du die Wurzeln im Nenner auflösen (3.binomische Formel), also:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{63}}{2\cdot \sqrt{2} -\sqrt{7} }\cdot \frac{2\cdot \sqrt{2} +\sqrt{7}}{2\cdot \sqrt{2} +\sqrt{7}} =\frac{\sqrt{63} \cdot (2\cdot \sqrt{2} +\sqrt{7} )}{8-7} =\sqrt{63} \cdot (2\cdot \sqrt{2} +\sqrt{7} )=2\cdot \sqrt{63} \cdot \sqrt{2} +\sqrt{7} \cdot \sqrt{63} =2\cdot \sqrt{126} +\sqrt{441} \end{eqnarray*}$

Dann kannst du noch teilweise radizieren und kommst auf:

$\begin{eqnarray*} 21+6\cdot \sqrt{14} \end{eqnarray*}$

Mfg,
Enzerama

21.09.2004, 22:31

Poff

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Das fast generelle Prinzip dabei, einen Nenner der Form
a+b, oder a-b durch Erweiterung mit (a-b)/(a-b) bzw (a+b)/(a+b)

in a²-b² zu überführen und damit die Wurzeln wegzuquadrieren

.

22.09.2004, 18:39

Sören

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@ Enzerama

Danke für die gute Darstellung..

Also wird der ganze Nenner immer razioniert? Oder gibt es da Ausnahmen?

Nehmen wir z.B.

4*r / r*WURZEL(s) + 2*WURZEL(r)

Hier könnte ich jetzt als erstes die 4 und die 2 kürzen...

Und würde dann

r*WURZEL(s) + WURZEL(r) razionieren

Folglich:

2r / r*WURZEL(s) + WURZEL(r) * r*WURZEL(s) - WURZEL(r) /
r*WURZEL(s) - WURZEL(r)

jetzt im Nenner Binomische Formel... usw.

(Sorry das ich das nicht so schön schreiben kann wie Enzerama! ) unglücklich

Ich hoffe ich habe das jetzt nicht falsch verstanden

gruß
Sören

22.09.2004, 18:59

Calvin

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Zitat:

Original von Sören
Nehmen wir z.B.

4*r / r*WURZEL(s) + 2*WURZEL(r)

Hier könnte ich jetzt als erstes die 4 und die 2 kürzen...

Meinst du die Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{4r}{r\sqrt{s}+2\sqrt{r}} \end{eqnarray*}$ ? Falls ja, dann kannst du nichts kürzen, da im Nenner eine Summe steht! Sowas macht immer einen ganz schlechten Eindruck in Klausuren Augenzwinkern

Du mußt mit dem kompletten Nenner (lediglich umgedrehtes Vorzeichen) erweitern, also mit $\begin{eqnarray*} r\sqrt{s}-2\sqrt{r} \end{eqnarray*}$ . Poff hat das ja auch schon kurz und einleuchtend erklärt.

Das ergibt dann insgesamt $\begin{eqnarray*} \frac{4r(r\sqrt{s}-2\sqrt{r})}{sr^2-4r} \end{eqnarray*}$ . Dann kannst du im Nenner noch r ausklammern und kürzen. Endergebnis ist also $\begin{eqnarray*} \frac{4(r\sqrt{s}-2\sqrt{r})}{sr-4} \end{eqnarray*}$

22.09.2004, 21:28

Sören

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Dann verstehe ich aber nicht,was Enzerama da gemacht hat, wo er einfach Zähler und Nenner mit 3 dividiert hat. Was hat er denn da gemacht?
Das ist ja auch ein "+"!

P.S. @ Clavin. Macht ihr diese "schöne" Darstellung der Formeln über das Forum?

gruß
Sören

22.09.2004, 21:32

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Sören
Dann verstehe ich aber nicht,was Enzerama da gemacht hat, wo er einfach Zähler und Nenner mit 3 dividiert hat. Was hat er denn da gemacht?

Kennst du das Wort "Kürzen"? Augenzwinkern

22.09.2004, 22:29

Calvin

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Zitat:

Original von SörenP.S. @ Clavin. Macht ihr diese "schöne" Darstellung der Formeln über das Forum?

Ja. Wenn du auf einen Beitrag antwortest, dann steht unter dem Feld "Formeleditor". Dort steht auch beschrieben, wie es geht. Nicht verzagen, es ist anfangs nicht einfach, wenn man kein Latex kann. Über den Button "Vorschau" kannst du ein bißchen damit rumspielen, ohne dass was passiert.

Was die Lösung von Enzerama angeht:

Sie hat zunächst im Nenner "3" ausgeklammert und anschließend gekürzt.
$\begin{eqnarray*} \frac{3 \sqrt{63} } {6 \sqrt{2}-3 \sqrt{7}} = \frac{3 \sqrt{63}}{3(2\sqrt{2}-\sqrt{7})} = \frac{\sqrt{63}}{2\sqrt{2}-\sqrt{7}} \end{eqnarray*}$

Bei deinem späteren Beispiel konnte man im Nenner nichts ausklammern. Deswegen konnte man auch nichts kürzen.

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