Fläche sich schneidender Kreise allgemein

09.03.2007, 21:10	telefonmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Fläche sich schneidender Kreise allgemein Hallo, zwei Kreise mit gleichem Radius sind so angeordnet, dass die Kreislinie des einen Kreises jeweils durch den Mittelpunkt des anderen läuft! a) Wie groß ist der Anteil der Kreislinie eines der beiden Kreise der sich innerhalb des anderen Kreises befindet? Wenn ich mit dem Zirkel vom einen Schnittpunkt des Kreises das Maß zum anderen Schnittpunkt auf die Kreislinie abtrage erhalte ich zusammen mit den Schnittpunkten die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks. Also ist 1/3 der Anteil der Kreislinie, oder? b) Kreise haben Radius 10cm. Wie groß ist die Entfernung eines der Schnittpunkte zur Geraden durch die Mittelpunkte? Bekomme ich über Pythagoras leicht hin. c) Wie groß ist der Anteil der Schnittfläche der Kreise am gesamten Objekt? Keine Ahnung Hat jemand eine gute Idee? Vielen Dank
09.03.2007, 22:24	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! a) stimmt c) Die gemeinsame Schnittfläche besteht aus 2 gleichen Kreissegmenten. Die Fläche eines Segmentes ist die Differenz der Fläche des zugehörigen Sektors (Öffnungswinkel 120°) und eines gleichschenkeligen Dreieckes (Basis = gemeinsame Sehne s, Höhe = r/2). Die halbe Sehne s/2 berechnen wir aus dem rechtwinkeligen Dreieck mit der Hypotenuse r und den Katheten r/2 und s/2. [Kontr.: $\begin{eqnarray} A = 2A_s = \frac{r^2}{6}(4 \pi - 3\sqrt{3}) \end{eqnarray}$ ] Die Fläche des gesamten Objektes lässt sich ja nun leicht ermitteln ( $\begin{eqnarray} 2A_k - A_s \end{eqnarray}$ ) und damit auch der gesuchte Anteil. mY+
09.03.2007, 22:38	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei a die Länge einer Seite eines der gleichseitigen Dreiecke in einem der Kreise . $\begin{eqnarray} a=\sqrt{3}r \end{eqnarray}$ kannst du selber leicht nachprüfen. Die Fläche dieses gleichseitigen Dreiecks ist. $\begin{eqnarray} A=\frac{1}{2}a \frac{\sqrt{3}}{2}a \end{eqnarray}$ Die rosa Fläche ergibt sich zu $\begin{eqnarray} \frac{2}{3}(r^2\pi-\frac{1}{2}a \frac{\sqrt{3}}{2}a) \end{eqnarray}$ Edit: lol... da war ich wohl sauber zu langsam..
13.03.2007, 19:42	telefonmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst mal vielen Dank, allerdings: Ich raff es nicht! "Die Fläche eines Segmentes ist die Differenz der Fläche des zugehörigen Sektors" Wie bitte? Oder, um es auf hessisch zu sagen: Heh?
14.03.2007, 13:35	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast nicht vollständig zitiert, d.h. den Satz aus dem Zusammenhang gerissen! Das ist unfair! Original steht es so da: Die Fläche eines Segmentes ist die Differenz der Fläche des zugehörigen Sektors (Öffnungswinkel 120°) und eines gleichschenkeligen Dreieckes (Basis = gemeinsame Sehne s, Höhe = r/2) Das sieht doch anders aus, oder?? Das heisst nicht mehr und nicht weniger, dass die Fläche des Kreissegmentes (Abschnittes) der Differenz der Fläche des Kreissektors und des Dreieckes, das die Sehne mit dem Mittelpunkt bildet, gleich ist. Überdies kannst du das auch in jeder besseren Formelsammlung nachlesen. Ausserdem ist das keine HS-Mathematik, sondern Schul-Geometrie, daher verschiebe ich es auch mal dorthin. *verschoben* mY+
14.03.2007, 15:04	telefonmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo mYthos, war gar nicht böse gemeint, sondern Ausdruck von Überforderung 8-( Habs aber mittlerweile raus. Danke nochmal.
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