Der Konvergenzradius macht Ärger

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blackearth Auf diesen Beitrag antworten »
Der Konvergenzradius macht Ärger
Also Ich habe die Funktion in eine Taylor-Reihe mit dem Entwicklungspunkt entwickelt.

Als Ergebnis habe ich raus:


Dürfte auch soweit stimmen ...

Jetzt habe ich versucht den zugehörigen Konvergenzradius zu bestimmen:

mit



Soweit müsste ja alles richtig sein oder ?

nur wenn ich jetzt versuche r auszurechen komme ich jedes mal zu folgeden Außdruck:

und

Whats gonna like this verwirrt
Was meint ihr dazu ?
Bruce Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo blackearth,

ich glaube, Du hast falsch gerechnet!

Setze

und Du erhälst

Für n gegen unendlich geht der erste Bruch gegen Null und der Betrag
des zweiten Bruches liegt für x0=pi/3 zwischen sqrt(1/3) und sqrt(3).
Also konvergiert der Quotient a_(n+1)/a_n gegen Null.

Gruß von Bruce.
blackearth Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

Leider hat mich Philip-ER schon davon überzeugen müssen das x nix zu suchen hat bei der bestimmung des Konvergenzradiuses Augenzwinkern

denn Meine Potenzreihe hat ja hier diese Form:

ist also nix weiter als der Vorfaktor für

außerdem müsste Folgende Formel schon seine richtigkeit haben


Oder hab ich da was missverstanden ?

Gruß Tobi
Bruce Auf diesen Beitrag antworten »

Lieber Tobi,

ich glaube, es liegt ein Mißverständnis vor. Da ich nicht weiß, was Philip-ER mit
dir diskutiert hat, wiederhole ich ein paar Details.

Eine Reihe ist eine Folge, die durch die Definition

aus irgend einer Folge reeller Zahlen a_n gebildet wird.

Wenn man nachweisen will, ob die Folge S_n konvergiert, dann kann man sich sogenannter
Reihenvergleichskriterien bedienen, von denen eines das Quotientkriterium ist.
Dieses besagt, daß die Reihe S_n konvergent ist, wenn eine natürliche Zahl N und
eine reelle Zahl 0<q<1 existieren, so daß gilt:


Und nun zu den Potenzreihen. Betrachte die endliche Summe

definiere die Funktion F durch

und frage dich, für welche x die Funktion F definiert ist.
Gesucht ist also der Konvergenzradius der Potenzreihe

d.h. das größte r für das gilt: |x-x_0|<r => F(x) existiert.

Hier bilden die Zahlen a_k(x-x0)^k die Elemente einer Folge
aus der eine Reihe, nämlich die Poternzreihe durch aufsummieren entsteht.
Wende auf die Elemente dieser Folge das Quotientenkriterium an!

Der Konvergenzradius der von dir betrachteten Potenzreihe ist unendlich!
Der Beweis ist mit Hilfe des oben wiedergegebenen Quotientenkriteriums schnell
erledigt. Einzelheiten dazu findest Du in meiner ersten Antwort auf deine Frage.
Beachte dabei, daß das a_n im Quotientenkriterium für den Fall der Potenzreihe
durch a_n*(x-x0)^n gegeben ist. Das ist entscheidend! Dann wird dir klar,
daß x bei der Bestimmung des Konvergenzradius auf die von mir beschriebene Art
und Weise sehr wohl auftauchen muß!

Gruß von Bruce.
blackearth Auf diesen Beitrag antworten »

Dann war das von dir also eine alternative Rechenweise den Konvergenzradius zu berechnen ?

Aber normal müsste ja bei meiner Rechnung auch r = Unendlich rauskommen oder nicht ? verwirrt
Nur ich komme halt immer auf diesen error Außdruck r =|0/0|

Gruß Tobi
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