Der Konvergenzradius macht Ärger |
22.09.2004, 04:38 | blackearth | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der Konvergenzradius macht Ärger Als Ergebnis habe ich raus: Dürfte auch soweit stimmen ... Jetzt habe ich versucht den zugehörigen Konvergenzradius zu bestimmen: mit Soweit müsste ja alles richtig sein oder ? nur wenn ich jetzt versuche r auszurechen komme ich jedes mal zu folgeden Außdruck: und Whats gonna like this Was meint ihr dazu ? |
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22.09.2004, 10:24 | Bruce | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo blackearth, ich glaube, Du hast falsch gerechnet! Setze und Du erhälst Für n gegen unendlich geht der erste Bruch gegen Null und der Betrag des zweiten Bruches liegt für x0=pi/3 zwischen sqrt(1/3) und sqrt(3). Also konvergiert der Quotient a_(n+1)/a_n gegen Null. Gruß von Bruce. |
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22.09.2004, 13:43 | blackearth | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi Leider hat mich Philip-ER schon davon überzeugen müssen das x nix zu suchen hat bei der bestimmung des Konvergenzradiuses denn Meine Potenzreihe hat ja hier diese Form: ist also nix weiter als der Vorfaktor für außerdem müsste Folgende Formel schon seine richtigkeit haben Oder hab ich da was missverstanden ? Gruß Tobi |
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22.09.2004, 16:04 | Bruce | Auf diesen Beitrag antworten » |
Lieber Tobi, ich glaube, es liegt ein Mißverständnis vor. Da ich nicht weiß, was Philip-ER mit dir diskutiert hat, wiederhole ich ein paar Details. Eine Reihe ist eine Folge, die durch die Definition aus irgend einer Folge reeller Zahlen a_n gebildet wird. Wenn man nachweisen will, ob die Folge S_n konvergiert, dann kann man sich sogenannter Reihenvergleichskriterien bedienen, von denen eines das Quotientkriterium ist. Dieses besagt, daß die Reihe S_n konvergent ist, wenn eine natürliche Zahl N und eine reelle Zahl 0<q<1 existieren, so daß gilt: Und nun zu den Potenzreihen. Betrachte die endliche Summe definiere die Funktion F durch und frage dich, für welche x die Funktion F definiert ist. Gesucht ist also der Konvergenzradius der Potenzreihe d.h. das größte r für das gilt: |x-x_0|<r => F(x) existiert. Hier bilden die Zahlen a_k(x-x0)^k die Elemente einer Folge aus der eine Reihe, nämlich die Poternzreihe durch aufsummieren entsteht. Wende auf die Elemente dieser Folge das Quotientenkriterium an! Der Konvergenzradius der von dir betrachteten Potenzreihe ist unendlich! Der Beweis ist mit Hilfe des oben wiedergegebenen Quotientenkriteriums schnell erledigt. Einzelheiten dazu findest Du in meiner ersten Antwort auf deine Frage. Beachte dabei, daß das a_n im Quotientenkriterium für den Fall der Potenzreihe durch a_n*(x-x0)^n gegeben ist. Das ist entscheidend! Dann wird dir klar, daß x bei der Bestimmung des Konvergenzradius auf die von mir beschriebene Art und Weise sehr wohl auftauchen muß! Gruß von Bruce. |
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22.09.2004, 18:34 | blackearth | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dann war das von dir also eine alternative Rechenweise den Konvergenzradius zu berechnen ? Aber normal müsste ja bei meiner Rechnung auch r = Unendlich rauskommen oder nicht ? Nur ich komme halt immer auf diesen error Außdruck r =|0/0| Gruß Tobi |
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