Beweis im Kreis [ehem. dringend]

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kto-to Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis im Kreis [ehem. dringend]
hallo! ich brauche eure hilfe

die aufgabe lautet:

auf der Sehne AB des Kreises k mit dem Mittelpunkt M liege ein von A und B verschiedener Punkt Q. Durch A, M und Q gehe der Kreis k1, der den Kreis k in den Punkten A und C schneide.

Ich muss jetzt beweisen, dass die Strecke QB und QC gleich lang sind.

verwirrt Hilfe verwirrt
sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »

VERSCHOBEN anch GEOMETRIE

bitte das nächste mal einen aussagekräftigeren Titel wählen Augenzwinkern
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre es denn mal mit einer kleinen Zeichnung?

ermunternder gruss Johko smile
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Sei Q' der Schnittpunkt der Verlängerung von CQ mit Kreis K
Es wird gezeigt AQ = Q'Q und damit nach 'Sehnensatz' QC = QB

W.(inkel)QCA = W.Q'CA = 1/2 * W.Q'MA ... zugeh. Mittelp.W. in K
weiter gilt W.QCA = W.QMA .... Fasswinkel über Sehne AQ in K1

Daraus folgt aber W.QMA = W.Q'MQ und damit MQ ist Winkelhalbierende.
Das heißt aber zugleich MQ ist Mittelsenkrechte von AQ' (Q'MA gleichschenkl.)

und somit AQ = Q'Q . Augenzwinkern
kto-to Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff
Sei Q' der Schnittpunkt der Verlängerung von CQ mit Kreis K
Es wird gezeigt AQ = Q'Q und damit nach 'Sehnensatz' QC = QB

W.(inkel)QCA = W.Q'CA = 1/2 * W.Q'MA ... zugeh. Mittelp.W. in K
weiter gilt W.QCA = W.QMA .... Fasswinkel über Sehne AQ in K1

Daraus folgt aber W.QMA = W.Q'MQ und damit MQ ist Winkelhalbierende.
Das heißt aber zugleich MQ ist Mittelsenkrechte von AQ' (Q'MA gleichschenkl.)

und somit AQ = Q'Q . Augenzwinkern



Mit Zunge danke für die hilfe...
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

zuständige Instanzen, löscht das vorherige Posting, oder nehmts in
'Sicherheitsverwahrung ...'
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Poff
Warum hast du denn deine Lösung gelöscht? verwirrt

edit: Ok, Poff. Schon klar. Habs in dem anderen Thread gelesen. Ich habs erstmal auf meiner Festplatte gespeichert. Weiß jemand, wann die Olympiade vorbei is, dass ichs wieder reinstellen kann?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ahnung was das nun genau ist, aber die andere Aufgabe die
auch 2 mal aufgetaucht ist, scheint ebenfalls dazuzugehören,

du weißt welche ... :-/

oder sollten sie wieder reingestellt werden, dann hat halt 'jeder'
die Lösung und sie zählt nix mehr ... :-/
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff
du weißt welche ... :-/


Ich denk schon: Hier und hier

Aber dann müsst ich ja den ganzen Thread löschen, soll ich das machen? verwirrt
Auch wie die Aufgabenstellung is "man ermittle...". Ich hab ja dieses Jahr auch mitgemacht und bei einer Aufgabe hatte ich auch solch eine Einleitung, hätt ich eigentlich auch drauf kommen können. unglücklich
Aber wie ist das: Wird das nicht in der Schule gemacht, wo man dann 90 min Zeit hat und danach is Schluss? Oder wird das zu verschiedenen Zeitpunkten gemacht und wenn ja, warum? verwirrt Dann wär der Veranstalter doch selbst schuld.
hummma Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Fragerunde kann man glaub ich daheim beantworten. Ab der 2. oder 3. Runde muss man dann irgendwo hin. Da kann einem dann eh keiner mehr helfen also bringt es nicht all zu viel die Antworten im I net zu suche.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Wo die nun genau hingehören könnten diese Aufgaben,
konnte ich nicht zusammenbringen ...

möglicherweise 'Wochenaufgaben' von hier

gefunden hab ich dort jedoch nichts :-/


Ich denke du sollst den Thread lassen (und das andere sollte
evtl auch wieder rein)

wer da mogelt, belügt sich eh selbst,
vielleicht weiß ja auch sonstwer was es damit auf sich hat ...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff
wer da mogelt, belügt sich eh selbst,
vielleicht weiß ja auch sonstwer was es damit auf sich hat ...


Eigentlich müssten doch die Aufgabensteller auch damit rechnen oder? Man kann sich ja dann sonstwo informieren.
hummma Auf diesen Beitrag antworten »

netuerlich rechnen die damit. Ich denk die gehen davon aus dass kaum einer der sich die loesung nicht selber konnte zu dem 2. Test kommt und wenn er doch kommt dann kommt er halt nicht weiter.
OP Auf diesen Beitrag antworten »

Die Mathe Olympiade ist nun vorbei, ich brauch ne loesung fuer diese Aufgabe.
Danke im Voraus
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du dir den Thread genau anguckst, dann findest du ne Lösung!!!! ...
OP Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso steht da aber, dass die loesung geloescht wurde, oder sowas in der art?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

@OP,

wer ne Lösung nicht als Lösung deuten bzw erkennen kann,
wenigstens teilweise, der sollte schon überlegen ob er sich nicht
besser mit anderen Aufgaben und Dingen beschäftigen sollte :-oo

Muss jetzt auch noch LÖSUNG drüberstehen damits als eine
solche zu erkennen ist ??
Was ist mit den vorsätzlich eingebauten Fehlern ??
erkennst du DIE wenigstens ??


Wenn nicht solltest vielleicht besser Abstand davon nehmen . Augenzwinkern
.
OP Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Ich hab es anders geloest, deswegen hab ich gehofft, dass es hier bei euch ein anderer loesungsweg noch vorhanden ist. Wenn ich mich irre und es keinen anderen loesungsweg an diesen geben kann, dann wuerde ich es von euch gern hoeren, in mathe versteh ich schon was , da hab ich ne 1 aber wenn es auf solche knobbel oder beweisaufgaben ankommt, dann muss ich lange ueberlegen und oft hab ich ganz anderen Weg als die anderen.

Bitte nicht boese sein, wenn man zusaetzlichen Wissen bekommen will, so was muss man glaub ich nur unterstuetzen, ich geb in solchen faellen immer wieder gerne Nachhilfe, wenn man anderen Leuten hilft dann wird dir bestimmt bald auch jemand helfen.

freundlicher Gruß Wink

OP
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

@OP,

das war nicht bös gemeint, sondern sollte etwas wachrütteln.

Es macht keinen Sinn wenn du hinter solchen Aufgaben 'herjagst'
und zugleich nicht in der Lage bist wenigstens Teile einer Lösung
davon zu erkennen und entsprechend einzuordnen.


Da ist es entschieden sinnvoller du stellst deine eigene mögliche
Lösung vor und versuchst auszudiskutieren, ob und was es genauer
damit auf sich hat.



Ähnliches gilt für dies hier

warum stellt 'KL' solch eine Frage, wozu will er das wissen ??
da wurde die Aufgabe komplett UND umfangreich abgehandelt
und nun kommt eine Frage deren Antwort im Prinzip nur dazu
gut sein kann noch erklärt zu bekommen was und wie das vor-
gerechnete nun 'einzureichen sei' ...

Wenn man nach einem kompletten Vorrechnen noch immer
nicht weiß was man damit anfangen soll, warum will man sowas
dann auch noch unter eigenem Mantel 'verkaufen' ... ???


Ich denke mehr betrügen kann man sich nicht mehr

Augenzwinkern
.
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Kann vielleicht mal einern ne Zeichnung zu der Lösung amchen? Bei mir liegt der Winkel Q'MA nämlich außerhalb ACDM. , von daher ist MQ nicht Winkelhalbierende.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

was ist D ??

hab gerade mal paar andere Konstellationen durchgespielt,
da scheints genauso zu passen.
Falls wirklich nicht, dann kommts mit Sicherheit durch logisch
korrekten Austausch, bzw Anpassung wieder hin ...

MQ kann außerhalb des offenen Winkels Q'MA liegen, aber die
Gerade MQ bleibt dennoch Winkelhalbierende ....


über solche Dinge mach ich mir weniger Gedanken, weil das meist
NICHT WIRKLICH auf verschiedenes rausläuft ...
.
OP Auf diesen Beitrag antworten »

@ Gast Hoffe, diese Zeichnung wird dir weiterhelfen,
http://de.geocities.com/hprosti/temp/9247.gif

@Proff

Danke fuer deine Antwort, ich versteh dich. Ich bin mir manchmal nicht sicher was ich mache, deswegen brauche ich oft eine Bestaetigung von jmd., dass es richtig ist.

Gruß

OP
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

@Gast

die Skizze von OP würde übrigens zu dem Beweis von weiter oben
passen (muss nur der Punkt Q' noch richtig ...) ...


@OP
ich denke mal K2 soll den gleichen Radius haben wie K1, damit
schneidet er K in einem Punkt dessen Entfernung zu Q genauso
groß ist wie die von C zu Q. Nun musst aber noch begründen warum
dieser Punkt mit B zusammenfällt.
OP Auf diesen Beitrag antworten »

@ Proff

Kann man das so beweisen?

Die Gerade, die durch Q und M verlaeuft betrachtet man als Spiegelachse, nun wird der Kreis k1 an die andere Seite von QM gespiegelt, dabei entsteht ein Kreis k2 mit dem Mittelpunkt M2, der den Kreis k in den Punkten A1 und B schneidet. Bei dieser Spiegelung entsprechen sich die Punkte. Der Spiegelpunkt von C ist B, somit ist CB senrecht zu MQ. Wenn man nun C und B miteinander verbindet, so entsteht ein gleichschenkliches Dreieck, dessen Grundseite CB und Winkel CQB von der QM halbiert werden. Somit ist QM die Mittelsenkrechte von CB, dann gilt dass die Strecken CB und QM orthogonal zueinander stehen. So kann man beweisen, dass QB=QC ist, denn der Abstand zwischen der Mittelsenkrechten und C oder B gleich groß ist.

Danke für deine Hilfe

OP
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@OP
Die Zeichnung und die Lösung, die du angibst, sind doch aber auch nich von dir, stimmts? Augenzwinkern
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

du muss ich nacher mal drüber nachdenken ....

aber dies ist soo keinesfalls korrekt

, nun wird der Kreis k1 an die andere Seite von QM gespiegelt, dabei entsteht ein Kreis k2 mit dem Mittelpunkt M2, der den Kreis k in den Punkten A1 und B schneidet

das mit dem B darfst NICHT einfach so unterstellen, sondern nur
dass K2 den K in einem Punkt P schneidet der bezüglich MQ
symmetrisch zu C ist. Nun musst NACHWEISEN dass jener Punkt P
mit dem Punkt B zusammenfällt.

Ansonsten wärst schon fertig, all das mit dem Dreieck usw.
könntest dir sparen, denn liegt B auf dem Spiegelkreis dann ist
'automatisch' BQ = CQ, schon wegen der Symmetrie ...
Prätorianer Auf diesen Beitrag antworten »

bin OP

Der Beweis ist von mir, die Zeichnung hab ich kopiert.
Prätorianer Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Beweis reicht es also nicht, kann ma da vlt. Kongruenzsatz benutzen? Oder denk ich da schon wieder falsch?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

nun mal langsam ... *g*

dein 'Beweis' ist insofern schwierig, als er eine Art Perpetuum-
Mobile darstellt das sich hier selbst beweist.
K2 'beweist' K1 und umgekehrt, so in etwa ....

nun ist das nicht zwingend falsch deswegen, es scheinen mir
aber eins zwei Punkte unbedingt geklärt damits ganz hinkommt.

Vielleicht seh ich auch irgendwo was falsch oder gerade nicht
ganz richtig ....


Fakt ist jedenfalls der, alsbald der Spiegelkreis durch den Punkt B
geht ist der Beweis vollzogen, dann brauchts nichts mehr mit
Dreiecken usw. . Nun versuch DU doch mal zu begründen warum
der Schnittpunkt P von Kreis K2 mit K (also der Spiegelpunkt von C),
warum der mit dem vorgegebenen Punkt B identisch sein muss.


Ich sehe dazu verschiedene Möglichkeiten, bei denen ich aber
stets verdammt aufpassen muss, dass ich nicht mit DEM was ich
beweisen will gerade das beweise was ich beweisen will ...
.



Um dir das Problem um den Punkt B etwas klarer zu machen ....

Die gestellte Aufgabe lässt sich gleichwertig zu dem Streckenlängen-
beweis in folgendes umformulieren.


Zeigen sie, dass der 'Spiegelkreis' zu k1 (Spiegelkeis in dem von DIR
genannten Sinne) durch den Punkt B geht.
Prätorianer Auf diesen Beitrag antworten »

@ all

Hab zuerst ne folgende frage :

Kann man von den Sehnen zu dem mittelpunkt des kreises k zwei Senkrechte einzeichnen und dann um diese Senkterchten einen Kreis zeichnen um zu zeigen , dass der abstand von der sehnen gleich ist. Es gibt einen satz der besagt, dass gleichlange sehnen haben gleichen abstand von dem Mittelpunkt. Oder es ist kein Beweis?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

richtig, gleich lange Sehnen im gleichen Kreis haben den gleichen
Abstand zum Mittelpunkt.


Aber einen Beweis kannst du NICHT durch scheinbar passende
Zeichnung begründen, sondern NUR durch logisch fundierte Schritte
und Begründungen.

Mit anderen Worten, du kannst solche Senkrechte zum Mittelpunkt
erstellen, aber das ANSCHAULICHE Resultat dass ein geeigneter
Kreis bei der Zeichnung dann durch die Fußpunkte der Lote zu
gehen scheint ist KEIN Beweis dafür, dass es wirklich so ist....

dafür brauchst NICHT den Kreis zeichnen sondern brauchst
logisch konstuktive Gründe dass es so sein muss ....


ich hoffe du verstehst was ich meine
.


'bastel' mal was zusammen, ich werde dir sagen ob was klemmt
oder nicht und wenn warum ...
Prätorianer Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich versuchs, also ich soll an anhand der skizze beweisen, dass die senkrechten zu dem Mittelpunkt gleich lang sind?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

... richtig,

zumindest insoweit, als dass ein Beweis sich stehts NUR an einer
Skizze ausrichten darf und die auch nur dazu gebraucht wird um
missverständliche oder sonst zu umständliche Formulierungen
vermeiden zu können.

Im Prinzip reicht es eine genaue textliche Beschreibung vorzupacken
die sämtliche benötigten Punkte, Winkel usw. genau benennt, bzw.
deren genaue Enstehung erklärt
(Die Aufgabenstellung von oben ist ja auch ohne Skizze klar,
wie zu verstehen ...)


Da der präzise Umgang mit der Sprache nicht jedermann oder frau
Sache ist, ist eine Skizze doch angebrachter um Fehldeutungen
etc zu vermeiden. Auch ergeben sich oft unterschiedliche
Ausgangskonstellationen, sodass auch von dieser Seite aus so
einige Verwirrungen vermieden werden können ...



ok, ich versuchs, also ich soll an anhand der skizze beweisen,
dass die senkrechten zu dem Mittelpunkt gleich lang sind?


du kannst GERNE auch was ANDERES beweisen ... :-oooo
(was liegt ganz allein in deiner Hand)

aber gleich was du beweisen willst das darfst nicht damit begründen
dass es in einer präzisen Zeichnung genau so ausschaut wie 'du'
es haben willst ... denn wenn die Aussage richtig ist schauts immer
richtig aus, dann bräuchts nichts beweisen sondern nur zeichnen ...
.
Prätorianer Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das ein Beweis oder nicht :

Wir betrachten Winkel A1CA und ABA1, sie sind gleich, da sie Faßwinkel über die SehneA und A1 sind, nun Betrachten wir den Mittelpunktswinkel A1MA, er ist nach dem Sehnensetz zweimal so groß wie die Faßwinkel. Der Winkel QMA is gleich dem Winkel QCA, da sie Faßwinkel über die Sehne AQ im Kreis k1 sind. Somit gilt der Winkel QMA und der Winkel QMA1 sind identisch nach,und damit die QM die Winkelhalbierende von AA1 ist. Der Dreieck A1MA ist gleichschnklig und damit ist QA gleich dem QA1. Nach dem Sehnensatz gilt, wenn A1Q und AQ gleich lang sind, dann sind ihre Verlaengerungen QB und QC auch gleich sind.

Bin sehr dankbar für deine Hillfe

Gruß

Prätorianer
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

... das ist korrekt und ein sauberer Beweis, soweit ich das auf die
Sekunde sehe. Sind zwar zwei Schwächen drin die NICHT sein
bräuchten aber die sind minimal.


Das sind:
und damit die QM die Winkelhalbierende von AA1 ist.

das muss heißen Winkelhalbierende von AMA1 !!
AA1 ist kein Winkel


Der Dreieck A1MA ist gleichschnklig und damit ist QA gleich dem QA1

hier könnte noch der nähere Grund gebracht werden warum das
aus der Gleichschenkligkeit folgt.


ein weiterer LEICHT vermeidbarer echter MANGEL:

Du hast nicht erklärt was A1 ist, folglich ist davon auszugehen dass
A1 genau das ist was oben in 'deiner' Skizze dargestellt, eben der
Schnittpunkt des Spiegelkreises k2 mit K. Nun ist aber keineswegs
einfach so klar, dass dieser Punkt auf der Linie CQ liegt.
Weil diese Eigenschaft aber später benutzt wird, müsste das
zusätzlich nachgewiesen werden ....
Wie sich das ganz einfach vermeiden lässt, kannst selbst rausfinden



und der verschluckte ganz Minipunkt ist nur das, dass nigendwo
stand dass W.QBA1 = W.ABA1 ist.
Zwar eine Banalität, die der Leser aber erst ausgraben muss um
den Schluss zu verstehen, dass aus dem vorgelegten
W.QMA = W.QMA1 folgt.


ich schau später nochmal genauer drüber ob ich auch nichts
übersehen hab, oder doch was 'fehlt', glaube aber nicht.





So, wo du das nun so sauber hinbekommen hast, müsstest auch
deinen Ursprungsansatz zum Ziel bringen können, da fehlt in Prinzip
nur ganz wenig ...
Wenn es dir z.B. gelänge astrein sauber zu beweisen dass A1 auf
der Verlängerung von CQ liegt, also alle drei Punkte auf der gleichen
Geraden dann hättest den anderen Ansatz EBENFALLS im Ziel.

und eins zwei weitere Varianten dürfte es geben um das sauber
ins Ziel zu bringen ...
Prätorianer Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Hilfe, den zweiten Beweis versuch ich später zu machen, wenn ich das natürlich schaffe, schreiben am montag ne arbeit.
Na ja, hoffe, dass ich noch darauf komme. Ich hab ne andere Frage, yu der anderen Aufgabe mit den Springer , ich verstehe da gar nicht, wie man da mathematisch vorgehen soll. Die Aufgabe lautet :
Lisa und Mara spielen das Spiel der drei Springer. Es wird auf einem Schachbrett gespielt, auf dem sich zu Beginn drei Springer auf den Feldern h1, g2 und f3 be¯nden (siehe Abbildung A441314 a). Die Spielerinnen ziehen abwechselnd einen der Springer auf ein leeres Feld, wobei ein Springer anders als beim Schach nur die vier in der Abbildung A441314 b gezeigten Zugmüglichkeiten hat.
http://de.geocities.com/hprosti/temp/Zwischenablage01.jpg
Ziel ist es, die Springer nach Hause zu bringen. Ein Springer ist zu Hause, wenn er auf einem
der schra±erten Felder a8, b8, a7 oder b7 steht. Es gewinnt diejenige, die den dritten Springernach Hause bringt. Tritt schon vorher die Situation ein, dass kein Zug mehr mÄoglich ist, obwohl
die drei Springer noch nicht alle zu Hause sind, so ist das Spiel unentschieden. Lisa beginnt. Gibt es eine Gewinnstrategie fÄur eine der beiden Spielerinnen? Wenn ja, wie lautet sie und warum erzwingt sie den Sieg?


Vilen Dank im Voraus

OP
sommer87 Auf diesen Beitrag antworten »

@Prätorianer:

bitte pro Thread immer nur ein Thema!
Bei neuen Fragen bitte immer einen neuen Thread auf machen Augenzwinkern

Alles was zu dem Schach-Problem zu tun hat bitte hier posten: klick

Und in diesem Thread können dann weiter Fragen und Antworten zum "Beweis im Kreis" gepostet werden... smile
Prätorianer Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, nächstes mal werd ich so machen. Danke für dein Hinweis Augenzwinkern
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