Funktionenschar-Integral-Aufgabe

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n! Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionenschar-Integral-Aufgabe
Hallo

hab hier eine Aufgabe,bei der ich wohl einen Black out habe.

Für jedes ist eine Funktion ft gegeben durch .Die Gerade mit der Gleichung schließt mit dem Graphen von ft eine Fläche mit dem Inhalt A(t) ein.Bestimmen sie A(t).

Also wie genau kann ich da vorgehen?Die Klammer oben kann man ja noch schnell ausklammern aber dann?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionenschar-Integral-Aufgabe
Allgemeinen Schnitt bilden, damit die Grenzen ermitteln, eventuelle
Vorzeichen Problematiken beachten und dann Fläche berechnen.

Augenzwinkern


... nicht vergessen, die Aufgaben sind ja meist so gestaltet,
dass sich das einigermaßen vertretbar rechnen lässt.
Wohingegen das in einem echten allgemeinen Prob ganz schön
deftig anders aussehen kann und sich hinter solch einer allgemein
einfach anmutenden Vorgehensweise auch eine 'Unmöglichkeit'
verbergen kann.
n! Auf diesen Beitrag antworten »

kann man denn einfach die Funktion mit der Geraden gleichsetzen ohne was zu ändern?

Sprich:

dann auf eine Seite bringen und nach x auflösen?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

dieses Dingen musst du lösen, und zwar nach x

t*x^3 - 3*(t+1)*x = -3*x bzw:
t*x^3 - 3*(t+1)*x +3*x = 0

dann musst versuchen die Lösungen 'graphisch' etwas einzu-
ordnen um abzuklären ob da irgendwo Probs lauern könnten,
bzw überlegen ob das generell überhaupt nötig ist.

Kann sein, dass Vorzeichenwechsel dabei generell kein Prob
darstellen, hab ich mir noch nicht überlegt, ....
etwas zusätzlich nachdenken kann aber nicht schaden . Augenzwinkern
.
n! Auf diesen Beitrag antworten »

ok,erstmal danke.Werde später mal ein paar rechnungen durchführen
n! Auf diesen Beitrag antworten »

also meine Schnittstellenberechnung ergibt folgendes (irgendwie scheint es mir falsch):









und x ist auch 0.Also drei Schnittstellen

kann das irgendwie hinkommen? verwirrt
und wenn ja,wie kann ich mir nun am Schaubild ein Bild machen?

btw: sorry für Doppelpost
 
 
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

... ist auch falsch, nachrechnen, Rechenfehler, nochmal genau
hinschauen, ... ist leicht auszumachen .

3 Schnittstellen ist richtig, 0 ist richtig
.
n! Auf diesen Beitrag antworten »

es war wohl das Vorzeichen bei dem ausmultiplizieren.Die 3x heben sich auf und die weiteren Schnittstellen sind Wurzel 3 und -wurzel 3,oder?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

... ja stimmt
n! Auf diesen Beitrag antworten »

ok,weiterer Schritt wäre ja anschaulich mögliche Probleme zu beheben,aber wie kann ich ungefähr das Schaubild zeichnen?Üblich wäre es ja für x was einzusetzen,wie mache ich das aber mit t?

letzter Schritt wäre -sofern ich mich nicht irre- die beiden Integrale mit den Grenzen 0,Wurzel 3 und - Wurzel drei auszurechnen,wobei t dann als eine Zahl angesehen werden muss!?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zeichnen ...

nun die Gerade ist Fix, die kannst ohne Prob ....
damit kannst auch die Schnittstellen einzeichnen

und dann GROB eins zwei Funktionen mit einfachen positiven t
und vielleicht eine zweite Sizze mit negativem t

nur um ein grobes Bild zu bekommen ...


Wie du die Fläche auszurechnen hast musst dann mal überlegen,
Spielen die Nullstellen der beiden Funktionen auch noch ne Rolle
oder nicht und warum ...

Von wo nach wo musst was und wie integrieren ....
in dem Dreh etwa
.
n! Auf diesen Beitrag antworten »

habe jetzt mal t=1 genommen und es sieht auch vernünftig aus.Schnittstellen überstimmen ein.Die Beobachtungen sind folgende:

Die Nullstellen für t=1 spielen auch noch eine Rolle,da sie Teil der Fläche sind.Die Nullstellen sind 2.1 und -2,1 (bei t=1).Heißt sie reichen weiter als die Schnittstellen der Funktion mit der Geraden.Irgend kommt mir die Gerade merkwürdig vor,denn ein Teil der Fläche liegt überhalb und ein Teil unterhalb.Und ein Teil der Geraden liegt jeweils zwischen den Flächen

muss ich jetzt die Nullstellen der Funktion ft nehmen als Grenzen?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

du, ich will dich nicht verwirren, nur sollst mal versuchen das selbst
rauszubekommen was wo wie du zu berechnen hast damit ....

Tipp, denk dir mal im Geiste das komplette Schaubild um ein
geeignetes +b nach oben verlagert .... (== verlagere Abszisse
nach -b)
.
n! Auf diesen Beitrag antworten »

langsam kommt mir die Erleuchtung.Meine Überlegung:

Wenn die Gerade mit dem Graphen eine Fläche umschließt,dann heißt es doch,dass ich nur den Teil betrachten muss,der "in der Luft" liegt und nicht den der auch von der X-Achse umschlossen wird?
Denn dann kämen die Nullstellen als Grenzen sicherlich nicht in Frage,da sonst ja die X-Achse mit dem Graphen und der Gerade eine Fläche umschließen würde.Laut Aufgabe schießt die Gerade nur mit dem Graphen eine Fläche ein.

das heißt überhalb der X-Achse gilt ft(x)>Gerade
unterhalb: Gerade>ft(x)

Nachdem ich die Funktionen entsprechend von einander abziehe steht folgendes da:



Stammfunktionen: 1/4 tx^4 - 3/2 tx^2
und -1/4 tx^4 + 3/2 tx^2

Alles zusammen ergibt 9/2t .Bitte sagt,dass es richtig ist
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Ergebnis stimmt musst das nur noch so schreiben:

A(t) = .... + .... = 9/2*t


dein zweites Integral ist allerdings falsch, denke aber, da hast dich
nur verschrieben ....
n! Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt,muss -tx^3 heißen.

vorhin hatte ich ich für t=2 mal etwas ausführlicher gezeichnet.Nun käme bei dem Ergebnis 9/2t für (t=2 ) 9 raus.Von der Zeichnung her kommt es hin,kann man es auch rechnerisch zurückverfolgen?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

richtig muss -t*x^3 heißen.
schreib dein Ergebnis aber besser so 9/2*t,
um Verwechslung mit 9/(2t) auszuschließen.


was willst da rechnerisch rückverfolgen ... ??
Selbst wenn du das Prob mit der konkreten Fkt mit t=2
durchrechnen würdest, würde sich nichts ändern
Die Schnittstellen (Integralgenzen) würden bleiben, weil ja
unabhängig von 't' und bei der Berechnung des Integrals selbst
würde sich auch nichts ändern, ob das 't' nun vorher oder nachher
ersetzt wird, dadurch ändert sich nichts ...

Kannst's ja mal spaßeshalber machen ...



Wichtiger ist folgendes:
Das Prob ist unabhängig von den Nullstellen beider Fkt, nur
abhängig von deren Schnittstellen, DER Orientierung der
Differenzbildung UND einer eventuellen Aufteilung in Teilintegrale.


Sind f und g zwei stetige integrierbare Funktionen (f > g),
die sich bei a und b schneiden a < b und nirgends dazwischen,
dann ist die zw, beiden eingeschlossene Fläche F

F = a..b int( f(x)-g(x),dx) = a..b int( (f(x)+c) - (g(x)+c),dx)

damit ist graphisch ersichtlich, dass in den Bereich [a,b] fallende
Nullstellen keine Auswirkungen auf das Integral haben.

die Vertauschung von f und g in der Diff. ein Vorzeichenwechsel
bewirkt und die Vertauschung von f und g (f < g) ebenfallls.


so in etwa und NICHT zu mathematisch genau nehmen all die
kontrollierenden Instanzen . Augenzwinkern
.
n! Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar.Dann sage ich mal vielen Dank. smile

werde dann auch 9/2*t schreiben,hauptsache das Ergebnis ist richtig. Augenzwinkern
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

übrigens, wenn die Schnittstellen von 't' abhängig gewesen wären,
so wie du's anfangs hattest, dann hätte das auch nicht viel geändert,

hätte bei den Integralgrenzen halt ein 't' mit drinnen gestanden
das in die Berechnung des Integrals nochmal auf diese Art mit
eingeflossen wäre, Ergebnis wär halt 'etwas' komplexer geworden ...

Augenzwinkern
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