Frage zu Parameteraufgabe

11.03.2007, 18:58

Sandra_Sapphira

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Frage zu Parameteraufgabe

Hallo ...

ich steck mal wieder bei einer Art ParamterAufgaben fest Augenzwinkern

Augenzwinkern

Welche Beziehung muss zwischen b und c bestehen, damit die ganzrationale Funktion 3.Grades $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$
a) genau einen Hoch- und Tiefpunkt besitzt
b) genau einen Sattelpunkt besitzt,
c) weder einen Hoch- und Tiefpnkt noch einen Sattelpunkt besitzt =

Das ist mir irgendwie wieder zuviel ...

Also erstmal habe ich abgeleitet :

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2+2bx+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=6x+2b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=6+2 \end{eqnarray*}$ ??

Und dann für a)

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ gilt ja

=> also

$\begin{eqnarray*} 3x^2+2bx+c=0 \end{eqnarray*}$ |:3
$\begin{eqnarray*} x^2+\frac{2}{3} bx+\frac{c}{3} =0 \end{eqnarray*}$

Ok hier bin ich schon etwas stutzig geworden, hab aber dann einfach die pq-Formel benutzt :
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} \pm \sqrt{\frac{4}{9}- \frac{c}{3}} \end{eqnarray*}$

Hier kann man aber wirklich nun nicht mehr weiter machen.
Ich brauch Hilfe, ich werd morgen sterben traurig

traurig

11.03.2007, 19:08

Chris1987

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RE: Frage zu Parameteraufgabe

Zitat:

Original von Sandra_Sapphira

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2+2bx+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=6x+2b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=6+2 \end{eqnarray*}$ ??

nein die dritte Ableitung lautet dann nur:

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=6 \end{eqnarray*}$
denn du leitest ja nach x ab ...
außerdem bezeichnet man die Ableitungen so:
1.Abl.: $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$
2.Abl.: $\begin{eqnarray*} f''(x) \end{eqnarray*}$
3.Abl.: $\begin{eqnarray*} f'''(x) \end{eqnarray*}$ und nicht alle nur mit $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ ...

11.03.2007, 19:09

Sandra_Sapphira

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oh sry, das machte das Copy and Paste Big Laugh

Big Laugh

Wie komm ich denn bei der pq Formel weiter ?

11.03.2007, 19:10

tigerbine

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RE: Frage zu Parameteraufgabe
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2+2bx+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=6x+2b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)= 6 \end{eqnarray*}$

a) genau einen Hoch- und Tiefpunkt besitzt

(i) die erste Ableitung muss zwei verschiedene Nullstellen haben

(ii) die zweite Ableitung muss an diesen Stellen unterschiedliche VZ haben und von Null verschieden sein.

11.03.2007, 19:15

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} \pm \sqrt{\frac{4}{9}- \frac{c}{3}} \end{eqnarray*}$

Du vernachlässigst hier das b

11.03.2007, 19:16

Chris1987

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stimmt ^^ mir auch nicht aufgefallen

also:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{b}{3} \pm \sqrt{\frac{b^2}{3}- \frac{c}{3}} \end{eqnarray*}$

Hauptnenner bilden:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{b}{3} \pm \sqrt{\frac{3b^2-3c}{9}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{b}{9} \pm \sqrt{3b^2-3c} \end{eqnarray*}$

so und damit es 2 nullstellen gibt muss das in der wurzel größer null sein

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11.03.2007, 19:22

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{b}{3} \pm \sqrt{\frac{b^2}{3}- \frac{c}{3}} \end{eqnarray*}$

Der Nenner beim ersten Term unter der Wurzel stimmt nicht !

11.03.2007, 19:28

Chris1987

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also:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{b}{3} \pm \sqrt{\frac{b^2}{9}- \frac{c}{3}} \end{eqnarray*}$

Hauptnenner bilden:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{b}{3} \pm \sqrt{\frac{3b^2-9c}{27}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{b}{3} \pm \sqrt{\frac{b^2-3c}{9}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{b}{9} \pm \sqrt{{b^2-3c}} \end{eqnarray*}$

so und damit es 2 nullstellen gibt muss das in der wurzel größer null sein

SO ???

11.03.2007, 19:37

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{b}{3} \pm \sqrt{\frac{b^2}{9}- \frac{c}{3}} \end{eqnarray*}$

Hauptnenner von 3 und 9 ist 27 verwirrt

verwirrt

Nimm der Sandra doch nicht die ganze Arbeit weg Big Laugh

Big Laugh

Gruß Björn

11.03.2007, 19:39

Chris1987

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naja gut hätte man auch mit 18 machen können ^^ aber, finde das mit dem überkreuz-multiplizieren immer ganz praktisch^^

11.03.2007, 19:43

Bjoern1982

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Ich finde 9 klingt besser Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.03.2007, 19:51

Chris1987

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lol , mensch bist du kleinlich smile

smile

funktioniert ja auch so Augenzwinkern

Augenzwinkern

tja das kgv der grundschule ist lange her^^

11.03.2007, 19:58

Sandra_Sapphira

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Also ich hab das hier ...

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{b}{3} \pm \sqrt{\frac{(\frac{2}{3}*b)^2}{4}- \frac{c}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{b}{3} \pm \sqrt {\frac{4*b^2}{36}- \frac{c}{3}} \end{eqnarray*}$

und dann kürzen

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{b}{3} \pm \sqrt {\frac{b^2}{9}- \frac{c}{3}} \end{eqnarray*}$

und dann Hauptnenner

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{b}{3} \pm \sqrt {\frac{b^2-3c}{9}} \end{eqnarray*}$

Weiter weiß ich nicht ....

Oh Leute ich sterb noch ... ich hab noch so viele Aufgaben für morgen zu lernen und alles ist mit so blöden Parametern Zeugs ...

11.03.2007, 20:03

Chris1987

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naja dann ziehst du die neun unter dem bruchstrich noch erstmal aus der wurzel, und damit es 2 nullstellen gibt muss das in der wurzel größer als null sein ( bei kleiner null: keine NST und bei =0 eine NST)

11.03.2007, 20:14

Sandra_Sapphira

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Ich verstehe wirklich kein Wort irgendwie .... oh man ich sterb wirklich noch

11.03.2007, 20:29

Chris1987

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gesucht bei a ist ja, dass es einen hoch- und einen tiefpunkt gibt: also 2 Nullstellen der ersten ableitung ! die habe ich schon geschrieben ...

so und damit es EIN hochpkt und EIN tiefpkt ist, muss die 2. ableitung mit den eingesetzten werten für X einmal größer null ( tiefpkt ) und einmal kleiner null ( hochpunkt ) sein .....

11.03.2007, 21:24

Sandra_Sapphira

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ok also ... ich hatte eben wirklich eine Art Nervenzusammenbruch am Telefon mit einer Freundin ... ich habe 8 Minuten ohne Pause wie eine Gestörte gelacht. Jetzt gehts mir wieder besser. Big Laugh

Big Laugh

Also gut, die Wurzel aus 9 im Nenner ist doch 3. Das kürzt sich mit dem 3c weg zu c also

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{b}{9} \pm \sqrt{{b^2-c}} \end{eqnarray*}$

Wie gehts jetzt weiter ??

11.03.2007, 22:54

tigerbine

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Wie ich schon vorhin sagte:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2+2bx+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=6x+2b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)= 6 \end{eqnarray*}$

a) genau einen Hoch- und Tiefpunkt besitzt

(i) die erste Ableitung muss zwei verschiedene Nullstellen haben

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-2b \pm \sqrt{4b^2-12c}}{6} \end{eqnarray*}$

Damit die Nullstellen verschieden sind, muss die Diskrimante > 0 sein:

$\begin{eqnarray*} 4b^2-12c > 0 \Leftrightarrow c < \frac{b^2}{3} \end{eqnarray*}$

(ii) die zweite Ableitung muss an diesen Stellen unterschiedliche VZ haben und von Null verschieden sein.

$\begin{eqnarray*} f''(x_1) = 6(\frac{-2b + \sqrt{4b^2-12c}}{6}) + 2b = \sqrt{4b^2-12c} >0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x_2) = 6(\frac{-2b - \sqrt{4b^2-12c}}{6}) + 2b = -\sqrt{4b^2-12c} <0 \end{eqnarray*}$

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