Konvergenz einer Reihe / Fakultät

26.09.2004, 15:10	PeFro	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe / Fakultät Hi, kurze Frage: Nach welchem Verfahren würde man bestimmen, ob $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty~\frac{2n+3}{n!} \end{eqnarray}$ konvergiert und wie löst man in solchen Fällen die Fakultät auf? MfG PeFro
26.09.2004, 15:11	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst Du schon die gängigen Verfahren wie Wurzelkriterium, Quotientenkriterium etc.?
26.09.2004, 15:14	PeFro	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja kenn ich, nur Frage ist, woran erkenn ich welches ich anwenden sollte?
26.09.2004, 15:19	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Also in dem Fall würde ich Quotientenkriterium anwenden, da sich die Fakultäten dann bis auf einen Faktor rauskürzen. Woran man es erkennt? Nun, zunächst sollte man erstmal schauen ob man nicht irgendwie vereinfachen kann, meistens drängt sich nach 1 bis 2 Schritten eine Variante auf. Wurzelkrierium lässt sich recht eindeutig sagen, wann mans anwendet, nämlich wenn Du die ganze Folge in Form von $\begin{eqnarray} a_k^n \end{eqnarray}$ schreiben kannst. Quotientenkriterium wende ich meist bei Brüchen an wo ich nicht weiter komme. Majoranten/Minorantenkriterium erfordert schon bissel mehr hinsehen und ich kann auch nicht pauschalisieren wann es zu verwenden ist. Primär versuche ich aber immer Ausdrücke über die harmonische oder geometrische Reihe zu bekommen.
27.09.2004, 10:40	Trazom	Auf diesen Beitrag antworten »
Fakultäten lassen sich leicht abschätzen. Für n genügend groß gilt: $\begin{eqnarray} n^n \geq n! \geq \alpha^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray}$ (Kann man mit vollständiger Induktion beweisen) In Deinem Fall würde ich so vorgehen: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty~\frac{2n+3}{n!} \leq \sum_{n=1}^\infty~\frac{2n+3n}{n!} = \sum_{n=1}^\infty~\frac{5n}{n!} \leq \sum_{n=1}^\infty~\frac{5n}{2^n} \end{eqnarray}$ Jetzt das Wurzelkriterium: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{5n}{2^n}} = \frac{1}{2} < 1 \end{eqnarray}$ Damit ist die Reihe konvergent nach Vergleichskriterium und Wurzelkriterium.
27.09.2004, 13:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Manchmal geht es mit einer ad-hoc-Rechnung schneller. Dazu zerlegt man hier die gegebene Reihe in eine Summe zweier konvergenter Reihen. Den Grenzwert bekommt man gleich mitgeliefert: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+3}{n!} = 2 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} + 3 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} = 2 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} + 3 \cdot \left( -1 + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \right) = 2 \operatorname{e} + 3 \cdot \left( -1 + \operatorname{e} \right) = 5 \operatorname{e} - 3 \end{eqnarray}$
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