Fläche im Parallelogramm (vektor gegeben)

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mpenza Auf diesen Beitrag antworten »
Fläche im Parallelogramm (vektor gegeben)
Gegeben ist ein Parallelogramm. Vektor a und Vektor b also. Jetzt muss die Fläche berechnet werden. Dazu brauche ich jedoch den winkel damit

Fläche = Vektor a * Vektor b * cos (Winkel)

ich hab das dazu in nem anderen beitrag gefunden:
Zitat:

a = 1. Vektor
b = 2. Vektor
da machst du das Skalarprodukt und dividierst durch das Produkt der Beträge und schon hast du den Cosinus aus dem Winkel der beiden Vektoren. Jetzt musst du nur noch den Arc-Cos berechnen und schon hast du den Winkel



kann mir jemand die lösung geben, wie ich mit hilfe der vektoren zum winkel komme (ggf bsp zahlen!) danke!


Ich dachte, dass man den normalenvektor zum Punkt Vektor a sucht da das ja die höhe ergibt. Wenn ich jetzt den schnittpunkt zwischen normalenvektor und b vektor suche müsste ich dann also die höhe berechnen können, oder?

Vielen Dank für eure Hilfe
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fläche im Parallelogramm (vektor gegeben)
Zitat:
Original von mpenza
Gegeben ist ein Parallelogramm. Vektor a und Vektor b also. Jetzt muss die Fläche berechnet werden. Dazu brauche ich jedoch den winkel damit

Fläche = Vektor a * Vektor b * cos (Winkel)

ich hab das dazu in nem anderen beitrag gefunden:
Zitat:

a = 1. Vektor
b = 2. Vektor
da machst du das Skalarprodukt und dividierst durch das Produkt der Beträge und schon hast du den Cosinus aus dem Winkel der beiden Vektoren. Jetzt musst du nur noch den Arc-Cos berechnen und schon hast du den Winkel


.........



OK, für die Fläche berechnet man zunächst den Winkel.

Die von dir angegebene Flächenformel ist allerdings falsch! Statt cos(phi) gehört dort sin(phi). Das skalare Produkt hat also mit der Fläche nicht direkt etwas zu tun, du kannst hieraus lediglich - wie im 2. Zitat angegeben - den Winkel berechnen. Von diesem setzt du dann den Sinus ein!

Beispiel für den Winkel:

a = (1;2;2); b = (4;1;2)

a.b = 1*4 + 2*1 + 2*2 = 10

[EDIT]




Die Höhe, wie von dir beschrieben, zu berechnen, ist durchaus möglich, in mit Geraden, in muss man dann allerdings mit dem Schnitt einer Geraden mit deren Normalebene arbeiten.

Es gibt (in ) noch einen anderen Weg zur Fläche: Der Betrag des Vektorproduktes (d. i. die Länge des Normalvektors) ist zahlenmäßig gleich dieser Fläche.


Gr
mYthos
Mpenza Auf diesen Beitrag antworten »

ja stimmt sinus danke! Klar mit dem Skalarprodukt kann ich den Winkel berechnen und dann kann ich die Fläche eigenlich ohne probleme berechnen.

Das Problem ist, ich verstehe zwar schon den Sinn des Zitates wo erklärt wird, wie der winkel berechnet wird, blicke aber nicht ganz durch (hb durch krankheit ein paar lücken!) - Kannst du es mir noch ein bisschen erklären??

Ich hab jetzt das Skalarprodunkt von Vektor a und b ausgerechnet. Wie Berechne ich jetzt die Länge der Vektoren? Und wie komme ich dann zum Winkel!

Danke für deine Hilfe!
mpenza Auf diesen Beitrag antworten »
oh
hab das Beispiel jetzt erst gesehn! Danke!!!
mpenza Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fläche im Parallelogramm (vektor gegeben)
Beispiel für den Winkel:

a = (1;2;2); b = (4;1;2)

a.b = 1*4 + 2*1 + 2*2 = 10



???
1² + 2² + 2² = 9 oder?


Danke! Habs verstanden!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dummer Fehler von mir, natürlich 9, sorry! Ich editier's dann oben!
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das von zwei Vektoren aufgespannte Parallelogramm hat den Flächeninhalt



Diese Formel gilt in jeder Dimension.

Im Zweidimensionalen gibt es eine einfachere Variante mit Hilfe der Determinanten:



Und im Dreidimensionalen mit Hilfe des Kreuzproduktes:

mpenza Auf diesen Beitrag antworten »

ist die 2.Lösung gleichwertig / besser / schlechter?

für die Länge des normalenvektors brauche ich dan die normalenform in Koordinatendarstellung, oder?
mpenza Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Das von zwei Vektoren aufgespannte Parallelogramm hat den Flächeninhalt




öhm mit Vektor a² meinst dann schon die Länge des Vektors also in betragsstrichen oder?

achja und was ist das Kreuzprodukt? Weiß nicht ob wir das schon hatten (vielleicht gibts acuh nen anderen namen?) einfach mal bsp mit dranfügen!

Danke auch dir!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das Kreuzprodukt heißt auch Vektorprodukt oder äußeres Produkt. Es existiert als Produkt von zwei Vektoren nur im Dreidimensionalen.
Mit wird das Skalarprodukt des Vektors mit sich selber bezeichnet. Es gilt:
Mpenza Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Das von zwei Vektoren aufgespannte Parallelogramm hat den Flächeninhalt





Diese Allgemeine Form haben wir nicht durchgenommen! Aber das Kreuzprodukt natürlich schon! Danke! Nur eine Gedankenstütze wäre nicht schlecht, warum das stimmt bzw warum das so ist! Das es wohl richtig ist, scheint zu stimmen smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die allgemeine Flächenformel resultiert aus der Beziehung mit dem skalaren Produkt:


















Gr
mYthos
curlee Auf diesen Beitrag antworten »
seite
hi ihr!!!
die seite ist echt cool gemacht. Ihr habt mir sehr gehholfen.....hab im Referat ne 2 gekriegt ... so gut war ich noch nie in Mathe............ LOL Hammer Freude Rock echt super. schöne grüße
Dosi Auf diesen Beitrag antworten »







muss mich für die matura auch damit beschäftigen..meine frage: wo verschwindet das "1-" plötzlich hin?
TheWitch Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist die Klammer ausmultipliziert worden.
Dosi Auf diesen Beitrag antworten »

ah...danke^^
wir halten unseren mathematik-unterricht jetzt seit 4 jahren mit mathematica ab..hab daher leider keeeine ahnung von solchen simplen dingen wie gleichungen händisch auflösen Big Laugh blöd halt nur, dass sowas bei der matura (die ich übrigens heute ca. 14:00 habe), schon verlangt wird Big Laugh
Anonym Auf diesen Beitrag antworten »

Und wenn man einen weiteren Vektor hat, dann ändert sich die Formel:

Dann sieht die Gleichung nämlich so aus: , wobei * das Skalarprodukt ist.

Das Ergebnis ist dann eine reelle Zahl. Diese Zahl ist dann das gesuchte Volumen.

ODER

Man schreibt die drei Vektoren nebeneinander in eine Matrix und berechnet die Determinante.

Schöne Grüße smile
Anonym
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ähhhm, Volumen wovon?? Und was hat das jetzt mit der Fläche des Parallelogrammes zu tun?

mY+
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