Ein paar nette Aufgaben...

27.09.2004, 23:41

Austi

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Ein paar nette Aufgaben...

Halli Hallo!!!

Ich poste hier mal 5 Aufgaben zum Themengebiet "Laplace-Experimente", zu denen ich mir von Euch Hilfestellungen erhoffe. Zur Berechung sollen "k-Tupel", "k-Permutationen", "k-Kombinationen", "k-Mengen" als kombinatorische Hilfsmittel verwendet werden:

1.) Ein vorbildlicher Leistungskursschüler führt in Mathematik 6 Hefte, und zwar je ein Schul- und Hausheft für Stochastik, Analytische Geometrie Und Infinitesimalrechnung. Er hat für die Heftumschläge 7 Farben zu Verfügung. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn
a) alle Hefte verschiedenfarbig eingebunden sein sollen,
b) keine Einschränkung gilt,
c) Schul- und Hausheft des gleichen Fachbereichs die gleiche Farbe tragen sollen, die Fachbereiche aber durch Farben unterschieden werden?

2.) Ein König beschließt in seinem Reich eine Gebietsreform. Dabei soll jede neu zu bildende Provinz eine Fahne erhalten. Zur Verfügung stehen die heraldischen Farben Rot, Blau, Schwarz, Grün, Gold, Silber und Porpur.
a) In wie viele Provinzen kann das Land höchtens eingeteilt werden, wenn die Fahne eine Trikolore sein soll und
1) keine weitere Bedingung gestellt wird,
2) der oberste Streifen der Trikolore golden sein muss,
3) einer der 3 Streifen der Trikolore golden sein muss?
b) Wie viele neue Provinzen können gebildet werden, wenn die Fahne zwar aus 3 Streifen bestehen, der untere und der obere Streifen aber gleichfarbig sein sollen?

3.) 6 Jungen und 4 Mädchen sollen in 2 Mannschaften zu 5 Spielern aufgeteilt werden. Auf wie viele Arten geht das, wenn in jeder Mannschaft mindestens ein Mädchen mitspielen soll?

4.) Eine Reisegruppe von 12 Personen verteilt sich auf 2 Abteile eines Eisenbahnwagens. In jedem Abteil gibt es 3 Sitzplätze in Fahrtrichtung und 3 entgegen der Fahrtrichtung. Von den 12 Personen wollen auf alle Fälle 5 in Fahrtrichtung und 4 gegen die Fahrtrichtung sitzen. Wie viele Platzierungsmöglichkeiten gibt es, wenn man die Sitze unterscheidet?

5.) Beweise die Additionsformel:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Lieben Dank jetzt schonmal! Wenn wirklich jemand Zeit hätte und sowas Ähnliches wie eine Musterlösung machen könnte... wäre das prima, da ich dann die Aufgaben perfekt als Vorbereitung fürs Abitur in Mathe verwenden könnte! Bin aber für jede Hilfestellung dankbar!!

MfG

Austi

27.09.2004, 23:48

Mathespezialschüler

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RE: Ein paar nette Aufgaben...
Benutze zu 5. einfach die Definition des Binomialkoeffizienten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} =\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)\cdot k!(n-k-1)!} \end{eqnarray*}$

erweitere nun einfach auf den Hauptnenner, klammere dann im Zähler n! aus und du bist schon fast fertig.

Zu 1. gebe ich Lösungen, zu 2. dann nur noch Lösungsansätze und zu 3, und 4. kannst du ja mal Lösungen geben Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

1.a) =Ziehen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge (Variation): 6 aus 7 Farben= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \end{pmatrix}\cdot 6! \end{eqnarray*}$
b) =Ziehen mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge (Variation): 6 aus 7 Farben= $\begin{eqnarray*} 7^6 \end{eqnarray*}$
c) =Ziehen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge (Variation): 3 aus 7 Farben= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix}\cdot 3! \end{eqnarray*}$

2. Trikolore ist eine Fahne mit drei verschiedenen Farben
a)
1) =Ziehen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge (Variation): 3 aus 7 Farben
2) =Ziehen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge (Variation): 2 aus 6 Farben
3) =(Ziehen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge (Variation): 2 aus 6 Farben)*3(Möglichkeiten für gold: unten/mitte/oben)
b) =(Ziehen ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge (Kombination): 1 aus 7 Farben für oben und unten)*(Ziehen ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge (Kombination): 1 aus 6 Farben für mitte)

Zu den anderen Aufgaben: Vielleicht kommst du mit meinen Lösungen ja auch bei den anderen Aufgaben weiter. Hast du schon Ergebnisse? Ich hab zwar welche, möche aber nicht alles verraten Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.09.2004, 12:07

Austi

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RE: Ein paar nette Aufgaben...
Hi Mathespezialschüler !!!

Zunächst mal super lieben Dank! Ich beschäftige mich grade zunächst mit Aufgabe 5! Wie du aus $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mithilfe des Binomialkoeffizienten $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n! \\ k!(n-k)! \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n! \\ (k+1)!(n-k-1)! \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erhälst kann ich ohne Probleme nachvollziehen!
Auch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n! \\ k!(n-k)! \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n! \\ (k+1)*k!(n-k-1)! \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist plausibel, denn $\begin{eqnarray*} (z + 1)! = z!*(z + 1) \end{eqnarray*}$

Aber wie macht man da denn jetzt weiter?? Mit meinem Matheprogramm Derive 6 komme ich nach Deinem letzten Schritt auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} (n+1)! \\ (k+1)!*(n-k)! \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Nur wie geht das?? Danke schonmal für eine Antwort

MfG
Austi

P.S. Außer beim ersten Wert gehört natürlich überall ein Bruchstrich dazwischen... Sorry!

28.09.2004, 21:30

Mathespezialschüler

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RE: Ein paar nette Aufgaben...
Dass du da überall nen Bruchstrich hinschreibst, is ganz wichtig. Das darfst du so, wie du es jetzt gemacht hast, nicht schreiben, aber das is dir ja (hoffentlich) klar.

Ich mach mal n bißchen weiter:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} =\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)\cdot k!(n-k-1)!} \end{eqnarray*}$

Das hatten wir, jetzt weiter vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}=\frac{n!\cdot (k+1)}{(k+1)\cdot k!(n-k)!}+\frac{n!\cdot (n-k)}{(k+1)!(n-k-1)!\cdot (n-k)}=\frac{n!\cdot (k+1)+n!\cdot (n-k)}{(k+1)!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

und jetzt klammere n! im Zähler aus!

29.09.2004, 12:14

Austi

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Hallo Mathespezialschüler!

wie kommst Du denn auf den gemeinsamen Nenner:

(k+1)!(n-k)! ???? Den Schritt kann ich leider nicht nachvollziehen

MfG
Austi

P.S. Ansonsten habe ich allerdings den Zähler vereinfacht bekommen! Ich habe dort jetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?? Außerdem habe ich noch eine Frage...

Was ist $\begin{eqnarray*} (z+1)!=z!*(z+1) \end{eqnarray*}$ für ein Gesetz?? Wieso ist das so?? Wo ist das definiert??

Dankeschön für Deine Mühe

29.09.2004, 18:22

Mathespezialschüler

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Also, warum

$\begin{eqnarray*} (z+1)!=z!\cdot (z+1) \end{eqnarray*}$

ist, ist ganz einfach. Ich denke mal, du kennst die Fakultät, also du weißt, was das z! bedeutet!!? Nämlich z! ist folgendermaßen definiert:

$\begin{eqnarray*} z!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (z-1)\cdot z \end{eqnarray*}$

Jetzt machen wir das für (z+1)!:

$\begin{eqnarray*} (z+1)!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (z-1)\cdot z\cdot (z+1)=(1\cdot 2\cdot 3\cdots (z-1)\cdot z)\cdot (z+1) \end{eqnarray*}$

Das in der Klammer ist doch aber gerade z!, siehe obige Gleichung!!! Also:

$\begin{eqnarray*} (z+1)!=(1\cdot 2\cdot 3\cdots (z-1)\cdot z)\cdot (z+1)=(z!)\cdot (z+1)=z!\cdot (z+1) \end{eqnarray*}$

und somit gilt

$\begin{eqnarray*} z!\cdot (z+1)=(z+1)! \end{eqnarray*}$

klar?

Zu dem anderen: Ich mach mal beide Brüche einzeln:
Ich erweitere den ersten Bruch mit (k+1) und wegen (k+1)*k!=(k+1)! (siehe oben) wird das dann noch weiter verienfacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!\cdot (k+1)}{(k+1)\cdot k!(n-k)!}=\frac{n!\cdot (k+1)}{\left((k+1)\cdot k!\right)(n-k)!}=\frac{n!\cdot (k+1)}{(k+1)!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, das ist klar. Beim zweiten erweitere ich mit (n-k), dazu erstmal folgendes, da hab ich wieder das von oben angewandt:

$\begin{eqnarray*} (n-k)!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-k-2)\cdot (n-k-1)\cdot (n-k)=(1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-k-2)\cdot (n-k-1))\cdot (n-k)=(n-k-1)!\cdot (n-k) \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} (n-k-1)!\cdot (n-k)=(n-k)! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}=\frac{n!\cdot (n-k)}{(k+1)!(n-k-1)!\cdot (n-k)}=\frac{n!\cdot (n-k)}{(k+1)!\left((n-k-1)!\cdot (n-k)\right)}=\frac{n!\cdot (n-k)}{(k+1)!\cdot (n-k)!} \end{eqnarray*}$

und jetzt haben wir die beiden Brüche auf einem Nenner, denn wir haben

$\begin{eqnarray*} \frac{n!\cdot (k+1)}{(k+1)!(n-k)!}+\frac{n!\cdot (n-k)}{(k+1)!\cdot (n-k)!} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, du hast das verstanden?!

Weiter gehts: du hast richtig vereinfacht. Schreib dir jetzt mal

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit der Definition

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} z \\ l \end{pmatrix}=\frac{z!}{l!(z-l)!} \end{eqnarray*}$

als Bruch so auf!

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29.09.2004, 21:02

Austi

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Alles klar!

Die Aufgabe 5 habe ich somit absolut verstanden! Vielen Dank für die liebe Hilfe!

Ich habe jetzt mal die Aufgabe 5 in diesem Word Dokument aufgeschrieben... kannst Du dir das mal angucken?? Nur wie kann ich das für alle hier im Board sichtbar machen??

MfG
Austi

30.09.2004, 21:45

Mathespezialschüler

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Unter deinem Fenster, wo du den Beitrag drin schreibst, noch unter den "Optionen" da ist "Dateianhang:", da is ne Zeile und dahinter steht "Bearbeiten". Du klickst auf "Bearbeiten", dann kommt ein Fenster. Da klickst du auf "Durchsuchen" und dann kannst du dein Dokument von deiner Festplatte auswählen und es wird hier angezeigt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ürbigens: Hast du schon Lösungen/Lösungsansätze für die anderen Aufgaben, also 2,3,4?? (1 hab ich dir ja schon freundlicherweise gelöst)

30.09.2004, 21:56

Austi

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Es ist mir völlig klar, wie eine Datei angehangen wird... smile

smile

Mein Problem ist, dass es sich um eine .doc-Datei handelt und diese das System nicht anzeigt... Aber guck mal bitte in Deine Mails!!!
Die anderen Aufgaben löse ich morgen oder übermorgen :-)

MfG
Austi

01.10.2004, 00:04

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Austi
Aber guck mal bitte in Deine Mails!!!

Ich hab nichts bekommen unglücklich

unglücklich

PS: Du kannst ja auch nen Screenshot von dem Word-Dokument machen, es in Paint einfügen und dann als JPG abspeichern :P

edit: Jetzt hab ich sie (die Mail). Es sind ein paar Kleinigkeiten noch komisch formuliert, aber im Grunde ist es gut. Wenn der latex-Code wieder geht, werd ich mal n bißchen dran arbeiten und deins so verändern, wie ich es dann machen würde. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.10.2004, 19:03

Austi

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Das ist super!

Wenn Du das dann veränderst, kannst Du es im .doc-Format lassen und mir via E-Mail zusenden?? Danke schonmal!

Ich wollte grade die Screenshots posten, aber da die E-Mail schon angekommen ist, muss ich ja nix falschen ins Netz stellen!

MfG
Austi

01.10.2004, 19:20

Mathespezialschüler

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Falsch ist es ja nicht, nur ein bißchen komisch formuliert und du hast zu viel aufgeschrieben. Aber das sag ich dir ja dann noch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.10.2004, 00:22

Austi

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Hi Mathespezialschüler!

zu Aufgabe 5: das schickst du mir ja dann nach Deiner kleinen "Berichtigung" zu smile

smile

Danke für Deine Mühe nochmals!!!
zu Aufgabe 1: habe ich verstanden! Ist soweit alles plausibel!
zu Aufgabe 2: a)
1) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot 3! = 210 \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot 2! = 30 \end{eqnarray*}$
3) 30 * weiß ich leider nicht
b) es handelt sich um k-Menge - 1 aus 7 - evt: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} = 7 \end{eqnarray*}$
zu Aufgabe 3: ohne Wiederholung und ohne Reihenfolge, aber weiter komm ich leider nicht
zu Aufgabe 4: ohne Wiederholung und ohne Reihenfolge, aber weiter komm ich leider nicht

Soweit mein Stand der Dinge

MfG

Austi

02.10.2004, 00:43

Mathespezialschüler

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2a):
1) und 2) richtig. Bei 3) habe ichs schon hingeschrieben, dein Ergebnis mal 3 . Das, was ich oben geschrieben hab, also

Zitat:

3) =(Ziehen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge (Variation): 2 aus 6 Farben)*3(Möglichkeiten für gold: unten/mitte/oben)

War nur die Erklärung. Also:
"(Möglichkeiten für gold: unten/mitte/oben)" war nur die Erklärung, warum mans mit 3 multiplizieren muss. Also

3) =30*3=90

zu b) Wir wollen eine Fahne haben, wo oben und unten die gleiche Farbe ist. Für diese Farbe, die dann oben und unten ist, haben wir "1 aus 7"=7 Möglichkeiten. Wenn wir jetzt eine gewählt haben, dann haben wir noch 6 Farben übrig. Und wir müssen noch den mittleren Streifen belegen. Dafür gibts "1 aus 6"=6 Möglichkeiten. Produktregel ergibt 6*7=42 als Ergebnis. Augenzwinkern

Augenzwinkern

3. Es soll in jeder Mannschaft mind. 1 Mädchen mitspielen.
Wir unterscheiden die vier Fälle:
genau 1 Mädchen
genau 2 Mädchen
genau 3 Mädchen
genau 4 Mädchen

genau 1 Mädchen: Für das eine Mädchen in der einen Mannschaft haben wir genau $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten. Für die restlichen vier Jungs in dieser Mannschaft haben wir $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten. Produktregel:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

genau 2 Mädchen: Für die 2 Mädchen in eine Mannschaft gibt es $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , für die restlichen 3 Jungs $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten. Wieder Produktregel:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Analog dazu ergibt sich:

genau 3 Mädchen: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

genau vier Mädchen: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt einfach alles addieren, also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

4. is schwer. Erstmal, es ist mit Reihenfolge, denn die Sitze werden unterschieden!
Es ist egal, ob das jetzt zwei Abteile sind oder 5000 ( :P). Das ist für die Aufgabe irrelevant.

Wir nummerieren die Sitze durch:
1-6 in Fahrtrichtung
7-12 entgegen Fahrtrichtung

5 wollen auf jeden fall in Fahrtrichtung, also jeder dieser will einen der Plätze 1-6. Wir beachten die Reihenfolge! Dann gibt es genau $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \end{pmatrix}\cdot 5! \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, diese 5 Personen auf den 6 Sitzen anzuordnen.
4 wollen auf jeden Fall entgegen der Fahrtrichtung, also jeder will einen der Plätze 7-12. Hier gibt es genau $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot 4! \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, diese 4 Personen auf den 6 Sitzen anzuordnen.
Es bleiben drei Sitze und drei Personen übrig. Um die drei Personen auf diesen drei Sitzen anzuordnen gibt es genau genau $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}\cdot 3!=3! \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten.

Nach der Produktregel müssen wir alles multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \end{pmatrix}\cdot 5!\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot 4!\cdot 3! \end{eqnarray*}$

Ausrechnen und fertig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.10.2004, 14:33

Austi

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In Ordnung! ich habe alles nachgerechnet und die Aufgaben verstanden! Du hast das super aufgelistet! So blickt man da perfekt durch! Echt klasse! Dankeschön!!!

Hier meine Ergebnisse:

Die ersten beiden Aufgaben haben wir ja bereits fertig besprochen!

3)

genau 1 Mädchen = 60 Möglichkeiten,
genau 2 Mädchen = 120 Möglichkeiten,
genau 3 Mädchen = 60 Möglichkeiten,
genau 4 Mädchen = 6 Möglichkeiten!

insgesamt = 246 Möglichkeiten!

4)

5 Personen wollen in Fahrtrichtung sitzen = 720 Möglichkeiten
4 Personen wollen entgegen Fahrtrichtung sitzen = 360 Möglichkeiten
3 Personen nd 3 Sitze = 6 Möglichkeiten

insgesamt = 1555200 Möglichkeiten!

MfG

Austi

P.S. Sag mal, wie weit bist Du denn mit der Überarbeitung meiner Beweisführung zu Aufgabe 5?? Da ich das bis morgen früh brauche, wäre es natürlich super, wenn Du mir das heute noch zusenden könntest -> falls Du es schaffst smile

smile

Danke auch dafür!

03.10.2004, 20:29

Austi

Auf diesen Beitrag antworten »

Besten Dank für die Verbesserung der Beweisführung zu Aufgabe 5!

Ich gebe Dir dann Bescheid, wie die Hausaufgaben waren!

Lieben Dank

Austi

04.10.2004, 21:02

Austi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler

3. Es soll in jeder Mannschaft mind. 1 Mädchen mitspielen.
Wir unterscheiden die vier Fälle:
genau 1 Mädchen
genau 2 Mädchen
genau 3 Mädchen
genau 4 Mädchen

genau 1 Mädchen: Für das eine Mädchen in der einen Mannschaft haben wir genau $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten. Für die restlichen vier Jungs in dieser Mannschaft haben wir $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten. Produktregel:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

genau 2 Mädchen: Für die 2 Mädchen in eine Mannschaft gibt es $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , für die restlichen 3 Jungs $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten. Wieder Produktregel:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Analog dazu ergibt sich:

genau 3 Mädchen: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

genau vier Mädchen: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt einfach alles addieren, also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hi Mathespezialschüler!

Ich bins nochmal Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also wir haben heute die Ergebnisse genannt bekommen! Wir hatten keine weitere Zeit zum genaueren Vergleichen, weil unser Lehrer noch weg musste... Die Aufgaben 1 + 2 sind auf jeden Fall richtig! Bei der 3. Aufgabe kommt mein Lehrer allerdings auf 120 Möglichkeiten... Kannst Du das nachvollziehen?? Ich glaube mittlerweile leider auch, dass Dein Ansatz teilweise falsch ist! Es soll ja in jeder Mannschaft mindestens 1 Mädchen mitspielen - dann können wir aber nicht 4 Mädchen in eine Mannschaft setzten... Hast Du eine Idee, wie man das dann machen kann, um auf 120 Möglichkeiten zu kommen??

--------------------------------------------------------------------------------------------

Ist das bei der 4. Aufgabe eigentlich die erste Pfadregel (Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses in einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad, der zu diesem Elementarereignis führt), die Du da anwendest (wo du am Ende alles multiplizierst und 1555200 erhälst-->dieses Ergebnis stimmt übrigens auch!!)

MfG
Austi

04.10.2004, 21:15

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Aufgabe 4 ists auf jeden Fall ne Regel, wo man multiplizieren muss. Das is eigentlich das gleiche, wie die Pfadregel für Wahrscheinlichkeiten. Aber hier gehts ja nicht um Wahrscheinlichkeiten, sondern um ne Anzahl. Und da gibts auch ne Regel, die "Produktregel der Kombinatorik" genannt wird, ich schreib sie mal äquivalent zu dem, was du geschrieben hast, auf::
In einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist die "Anzahl" aller möglichen Ereignisse gleich dem Produkt aller "Anzahlen" aller Pfade (aller "Einzelanzahlen").

Zu 3.: Ich glaub, da hab ich wirklich nen Fehler gemacht. Also 4 geht ja nicht, weil dann in der anderen 0 wären. 3 ist äquivalent zu dem, dass in der anderen 1 ist, also brauchen wir das nicht nochmal mitzuzählen (wir würden es doppelt zählen). Aber trotzdem müsste

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}=180 \end{eqnarray*}$

rauskommen.
Kannst du deinen Lehrer nochmal fragen, wie er auf 120 kommt!? Danke!
Und was hat er zu 5. gesagt? Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.10.2004, 21:25

Anirahtak

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

du brauchst deinen Lehrer nicht zu fragen, ich weiß wo euer Fehler ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also ihr fangt ganz richtig an, mit der Summe, allerdings ist sind die letzten Möglichkeiten $\begin{eqnarray*} \binom{4}{4}\binom{6}{1} \end{eqnarray*}$ sind nicht gültig. Ihr habt zwar in der einen Mannschaft Mädels, aber für die zweite bleiben keine mehr übrig!

Also nur $\begin{eqnarray*} \binom{4}{1}\binom{6}{4}+\binom{4}{2}\binom{6}{3}+\binom{4}{3}\binom{6}{2}=240 \end{eqnarray*}$

Allerdings kommt jetzt jede mögliche Besetzung zweimal vor, einmal als Team A und einmal als Team B-

Also das ganze jetzt noch durch 2 geteilt liefert die gewünschten 120.

Gruß
Anirahtak

04.10.2004, 21:57

Austi

Auf diesen Beitrag antworten »

ja klar... stimmt!

Dankeschön Anirahtak!!! Dann passt also Aufgabe 3 ebenfalls! Ist das denn bei 4. die erste Pfadregel??

MfG
Austi

04.10.2004, 22:00

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist die produktregel der Kombinatorik!! Die Pfadregeln gelten ja nur für Wahrscheinlichkeite, hier geht es doch aber nicht um Wahrscheinlichkeiten, sondern um eine Anzahl!!!! Das hab ich doch oben schon geschrieben! verwirrt

verwirrt

@Anirahtak
Ich hab nich beachtet, dass bei "2 Mädchen" das auch doppelt gezählt wird bzw. das war mir nich ganz klar. Danke!

06.10.2004, 15:15

Austi

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Entschuldigung Mathespezialschüler!!

Ich habe Deinen Eintrag oben gar nicht gesehen... Die Frage war natürlich dann überflüssig! Die Fragen 1-4 haben wir heute zu Ende besprochen, Aufgabe 5 kommt morgen dran!

MfG

Austi

23.10.2004, 15:24

Austi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mathespezialschüler!

Ich danke Dir für die Verbesserung meiner Beweisführung! Ist gut beim Lehrer angekommen! Weil ich es halt auch erklären konnte! Vielen Dank nochmal und noch ein schönes Wochenende

MfG
Austi

1

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