Ebene schneidet Kugel

30.09.2004, 12:35	Biborak	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebene schneidet Kugel Moin, hab hier eine Aufgabe, bei der ich keinen Ansatz finde: Die Ebene x+y+z=4 schneidet die Kugel x²+y²+z²=6. Welche Punkte (x,y,z) der Schnittlinie haben den kleinsten bzw. den größten Abstand von der (y,z) Ebene, also die kleinste bzw größte x-komponente? thx
30.09.2004, 13:04	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das gehört eindeutig in die Kategorie: Geometrie [EDIT: Beginn] Mhhm, na ja, die Extremwertaufgabe spielt schon in die Analysis hinein ... Mit reiner Analysis funktioniert's aber nicht so recht: Wollte so rechnen: $\begin{eqnarray} x + y + z = 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 + z^2 = 6 \end{eqnarray}$ das sind die zwei Nebenbedingungen x ... Max. Hauptbedingung ... $\begin{eqnarray} x = \frac{5 - 4y}{4 - y} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \ ' = -\frac{11}{(4 - y)^2} \end{eqnarray}$ - > keine Lösung. [EDIT: Ende] Überlegung: Die Schnittlinie ist ein Kreis. Für dessen Gleichung gibt es auch eine Parameterform, in der der Ortsvektor OM zum Mittelpunkt M und zwei in der Kreisebene liegenden Vektoren U und V, die aufeinander senkrecht stehen und den Betrag r haben, mittels Winkelfunktionen des Parameters miteinander verknüpft werden. Wichtig: Die beiden Vektoren (U, V) müssen in der Kreisebene E liegen, aufeinander senkrecht stehen und jeweils den Betrag r haben. Die Parameterform des Kreises k[M;r;E]: *X = M + Ucos(t) + Vsin(t)* --- t € IR, U, V € E, Winkel(U,V) = 90°, \|U\| = \|V\| = r $\begin{eqnarray} d(t) = x_{extr} = m_x + u_x \cdot cos(t) + v_x \cdot sin(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d \ '(t) = -u_x \cdot sin(t) + v_x \cdot cos(t) \ \ -> 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t = arctan(\frac{v_x}{u_x}) \end{eqnarray}$ Mit den Zahlenwerten ist zunächst der Mittelpunkt des Kreises $\begin{eqnarray} M_1(\frac{4}{3}\|\frac{4}{3}\|\frac{4}{3}) \end{eqnarray}$ sein Radius $\begin{eqnarray} r1 = \sqrt{\frac{2}{3}} \end{eqnarray}$ und mit den zwei Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{U} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{V} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kommt dann $\begin{eqnarray} tan(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ .... $\begin{eqnarray} x = \frac{4}{3} + \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ ... Gr mYthos
02.10.2004, 21:33	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebene schneidet Kugel den mittelpunkt des schnittkreises erhälst du als schnittpunkt der ebene mit der normalen durch den mittelpunkt der kugel, also: g: x = (0/0/0) + s(1/1/1) zu M´= 4/3(1,1,1) und den radius aus r^2 = R^2 - d^2 lt. skizze (mit d^2 = 16/3) zu r^2 = 2/3 aus symmetriegründen sollten dann die beiden punkte lauten: P1(1/3(4 + sqr(6)/....) P2(1/3(4 - sqr(6)/.....) werner (sqr = quadratwurzel)

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