Grenzwerte und Reihen

12.03.2007, 14:01

Johnny Rotten

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Grenzwerte und Reihen

Wer kann mich bei folgenden Aufgaben auf den Lösungsweg geleiten?

Aufgabe 1.
Bestimmen Sie den Wert der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n^2\cdot2^n} \end{eqnarray*}$ .

Aufgabe 2.
Sei $\begin{eqnarray*} f(x):=\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{x}{x^2+n^2} \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}~f(x) \end{eqnarray*}$ .

12.03.2007, 14:11

WebFritzi

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Hmmm, also das sieht schwierig aus. Vielleicht hilft es, wenn du mal sagst, bei welchem Thema ihr gerade seid.

12.03.2007, 14:34

Johnny Rotten

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Zitat:

Original von WebFritzi
Hmmm, also das sieht schwierig aus. Vielleicht hilft es, wenn du mal sagst, bei welchem Thema ihr gerade seid.

Ich kann Dir nur zustimmen!

Gleichmäßige Konvergenz ist gerade dran. Allerdings hilft die wohl eher bei Aufgabe 2.

Bei Aufgabe 1. könnte ich mir vorstellen, dass irgendeine Trickserei mit Integralen und dann via Gleichmäßige Konvergenz, Summieren und Integrieren oder Summieren und Differenzieren vertauscht wird.

Weiter weiß ich auch nicht verwirrt

verwirrt

12.03.2007, 15:10

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Zu 1) Betrachte die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) = \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{x^n}{n^2} \end{eqnarray*}$ , zu berechnen ist dann hier $\begin{eqnarray*} g = g\left( \frac{1}{2} \right) \end{eqnarray*}$ .

Differenzieren ergibt $\begin{eqnarray*} g'(x) = \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{x^{n-1}}{n} = -\frac{1}{x}\ln(1-x) \end{eqnarray*}$ .

Dann folgt durch Integration $\begin{eqnarray*} g(x) = -\int\limits_0^x ~ \frac{1}{t}\ln(1-t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ und weiter mit partieller Integration

$\begin{eqnarray*} g(x) &=& \Big[ -\ln(t)\ln(1-t) \Big]_{t=0}^x - \int\limits_0^x ~ \ln(t)\frac{1}{1-t} ~ \dd t = -\ln(x)\ln(1-x) - \int\limits_{1-x}^1 ~ \ln(1-u)\frac{1}{u} ~ \dd u\\ &=& -\ln(x)\ln(1-x) + g(1)-g(1-x) \end{eqnarray*}$

mit zwischenzeitlicher Substitution $\begin{eqnarray*} u=1-t \end{eqnarray*}$ . Den Wert $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt sich

$\begin{eqnarray*} g\left( \frac{1}{2} \right) = -(\ln(2))^2 + g(1) - g\left( \frac{1}{2} \right) \end{eqnarray*}$ .

Alles, was jetzt noch benötigt wird ist $\begin{eqnarray*} g(1) = \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ , da kommt $\begin{eqnarray*} \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$ heraus - warum? Das ist dann schon wieder ein anderes Thema, wofür es hier sicher schon einige Threads gibt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Geht sicher auch eleganter, aber was anderes ist mir erstmal nicht eingefallen. smile

smile

12.03.2007, 15:16

WebFritzi

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1000 Punkte, Arthur. Toll! Tanzen

Tanzen

12.03.2007, 15:21

AD

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Eigentlich Minuspunkte, denn ich hab ja alles verraten - soll man ja nicht... Augenzwinkern

Augenzwinkern

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12.03.2007, 15:22

WebFritzi

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Naja, bei sowas, wo doch eh (k)einer drauf kommt, ist's was anderes, finde ich.

12.03.2007, 15:29

Johnny Rotten

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Eigentlich Minuspunkte, denn ich hab ja alles verraten - soll man ja nicht... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Na ja, das passt schon...
Vielen Dank jedenfalls. Wink

Wink

Immerhin haben sich meine unschlüssigen Vermutungen anfangs als gar nicht mal so verkehrt erwiesen.

13.03.2007, 10:26

Johnny Rotten

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Bei Aufgabe 2 habe ich mir folgendes überlegt:
Ich will zunächst den Reihenwert für $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{1+n^2} \end{eqnarray*}$ ermitteln.
Damit lässt sich dann auf $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{x}{x^2+n^2} \end{eqnarray*}$ schliessen und eine Grenzwertbetrachtung durchführen.

Wie aber komme ich zum Wert von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{1+n^2} \end{eqnarray*}$ ?

Mathematica liefert: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{1+n^2}=\frac{\pi\cosh(\pi)-\sinh(\pi)}{2\sinh(\pi)} \end{eqnarray*}$ ???

13.03.2007, 10:34

AD

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Zitat:

Original von Johnny Rotten
Ich will zunächst den Reihenwert für $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{1+n^2} \end{eqnarray*}$ ermitteln.
Damit lässt sich dann auf $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{x}{x^2+n^2} \end{eqnarray*}$ schliessen und eine Grenzwertbetrachtung durchführen.

Ich kann nicht erkennen, wie das klappen soll. unglücklich

unglücklich

13.03.2007, 10:48

Johnny Rotten

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von Johnny Rotten
Ich will zunächst den Reihenwert für $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{1+n^2} \end{eqnarray*}$ ermitteln.
Damit lässt sich dann auf $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{x}{x^2+n^2} \end{eqnarray*}$ schliessen und eine Grenzwertbetrachtung durchführen.

Ich kann nicht erkennen, wie das klappen soll. unglücklich

unglücklich

Na ja, wegen

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{x^2+n^2}=\frac{1}{x^2}\cdot \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{1+\left(\frac{n}{x}\right)^2}\stackrel{M}{=}\frac{1}{2x^2}\cdot \frac{\pi x \cosh(\pi x) - \sinh(\pi x)}{\sinh(\pi x)} \end{eqnarray*}$ .

Die mit 'M' gekennzeichnete Identität stammt wieder von Mathematica.
Mit dieser Formel kommt man dann übrigens bei Aufgabe 2 zum Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\sum_{n=1}^\infty\frac{x}{x^2+n^2}=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

13.03.2007, 10:50

AD

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Das ist richtig. Meine Frage bezog sich aber darauf, was das mit

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{1+n^2} \end{eqnarray*}$

zu tun hat!!!

13.03.2007, 10:56

Johnny Rotten

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Äh, Vereinfachung verwirrt

verwirrt

Um über den 'einfachen' Fall x=1 zum allgemeinen zu gelangen und dabei die Methodik nachzuahmen.

13.03.2007, 11:07

AD

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Vielleicht solltest du dich nicht so sehr an dem Mathematica-Ergebnis festbeißen, was wahrscheinlich sehr schwierig nachzuweisen sein wird, mit einer Menge Analysis (Residuen? oder ähnlicher Kram? ich sehe es momentan nicht).

Man ist bei dieser Aufgabe nicht auf eine explizite Darstellung von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ angewiesen, sondern will ja "nur" den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} f(x) \end{eqnarray*}$ ermitteln, und das geht auch wesentlich einfacher mit ziemlich naheliegenden Integralabschätzungen.

26.03.2007, 20:56

Johnny Rotten

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RE: Grenzwerte und Reihen

Zitat:

Original von Johnny Rotten
Aufgabe 2.
Sei $\begin{eqnarray*} f(x):=\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{x}{x^2+n^2} \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}~f(x) \end{eqnarray*}$ .

Sorry, daß ich den ollen thread hier nochmal aufwärme.
Mir ist aber auch nach längerem Nachdenken+Rumprobieren nicht klar wie ich bei dieser Aufgabe mit ner Integralabschätzung weiterkommen soll, denn wenn ich abschätze, dann kanns ja nur mit dem Einschliessungskriterium klappen und dazu muss ich dann ja sowohl nach oben als auch nach unten abschätzen gegen Folgen mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , da ich weiß, daß das der gesuchte Grenzwert ist.
Fragen und nix als Fragen...

26.03.2007, 21:03

AD

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Es ist für positive $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x + \frac{(n+1)^2}{x}} \leq \frac{1}{x + \frac{t^2}{x}} \leq \frac{1}{x + \frac{n^2}{x}} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t\in [n,n+1] \end{eqnarray*}$ ,

die Integration über dieses Intervall ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x + \frac{(n+1)^2}{x}} \leq \int\limits_n^{n+1} ~ \frac{1}{x + \frac{t^2}{x}} ~ \dd t \leq \frac{1}{x + \frac{n^2}{x}} \end{eqnarray*}$ ,

und jetzt das noch für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 0 \end{eqnarray*}$ summiert führt zu

$\begin{eqnarray*} f(x) \leq \int\limits_0^{\infty} ~ \frac{x}{x^2 + t^2} ~ \dd t \leq f(x)+\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ .

und somit $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x} \leq f(x) \leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

26.03.2007, 21:10

Johnny Rotten

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Vielen Dank!
Gott

Gott

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