Matrizen

12.03.2007, 15:15

Shadow86

Matrizen

Ich bitte um kurze Bestätigung oder Widerspruch:

Es sei $\begin{eqnarray*} E:={e_1,e_2,e_3} \end{eqnarray*}$ die kanonische Basis und B die aus $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 5 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bestehende Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ . Die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^3->\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ sei definiert durch:
$\begin{eqnarray*} f(e_1):=\begin{pmatrix} 9 \\ -20 \\ 20 \end{pmatrix}, f(e_2):= \begin{pmatrix} 10 \\ -24 \\ 26 \end{pmatrix}, f(e_3):= \begin{pmatrix} 6 \\ -15 \\ 17 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} E^ME, B^MB \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B^M \end{eqnarray*}$ -1 $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ Das letzte soll ein M hoch -1 sein, kein M-1

Für $\begin{eqnarray*} E^ME \end{eqnarray*}$ hab ich, wegen der kanonischen Basis einfach $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 9 & 10 & 6 \\ -20 & -24 & -15 \\ 20 & 26 & 17 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Aber kann ich das einfach so übernehmen? Ist das nicht zu einfach?

Bei $\begin{eqnarray*} B^MB: \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -2 & -5 & -5 \\ 2 & 5 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und bei $\begin{eqnarray*} B^M \end{eqnarray*}$ -1 $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ hab ich dann einfach das Inverse zu $\begin{eqnarray*} B^MB:\begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 \\ -2 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, das kommt mir alles ein bisschen zu einfach vor!?

12.03.2007, 15:18

WebFritzi

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Was ist M?

12.03.2007, 16:44

Shadow86

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Das ist einfach der Name der Matrizen, denke ich

12.03.2007, 16:48

WebFritzi

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Zitat:

Original von Shadow86
denke ich

Tja, das solltest du schon wissen. Sonst kann dir keiner helfen. Und wenn M eine Matrix sein soll, dann frage ich mich, was
$\begin{eqnarray*} E^M \end{eqnarray*}$
sein soll? Ich verstehe nicht, dass du überhaupt versucht hast, die Aufgabe zu lösen, wenn dir überhaupt nicht klar war, was eigentlich die Aufgabe ist. geschockt

12.03.2007, 17:03

Shadow86

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M ist die Matrix, E ist die Basis und $\begin{eqnarray*} E^M \end{eqnarray*}$ ist die die Matrix M mit Basis E.

12.03.2007, 17:10

WebFritzi

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RE: Matrizen

Zitat:

Original von Shadow86
Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} E^ME, B^MB \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B^M \end{eqnarray*}$ -1 $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ Das letzte soll ein M hoch -1 sein, kein M-1

Und was sind E und B alleinestehend? Erst sagst du, das sollen Basen sein und jetzt sind es scheinbar plötzlich Matrizen. Da kann doch etwas nicht stimmen, oder?

12.03.2007, 17:27

Shadow86

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Wo stehen E und B alleine?
$\begin{eqnarray*} E^ME \end{eqnarray*}$ etc sind die Matrizen mit Basis E. Ich weiß auch nicht, wieso E da zweimal steht, deshalb frag ich ja, aber anscheinend weiß es keiner :-(

Und bei $\begin{eqnarray*} B^M \end{eqnarray*}$ -1 $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ muss man das Inverse finden. Da bin ich mir ziemlich sicher.

12.03.2007, 18:24

WebFritzi

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Hach, ich glaube ich weiß jetzt, was diese besch... Darstellung sein soll (mal ganz zu schweigen davon, dass von M vorher nie die Rede war).

$\begin{eqnarray*} B^ME \end{eqnarray*}$ : Das ist die Matrix, die den Homomorphismus f darstellt bzgl. der Basen B (im Def.-Bereich) und E (im Bildbereich).

12.03.2007, 18:47

Shadow86

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Ja, ich glaube, das müsste es sein, aber da es die kanonische Basis ist, macht es doch quasi keinen Unterschied oder? Also stimmt das, was ich oben geschrieben habe? Oder nicht?

12.03.2007, 18:53

WebFritzi

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Wenn du jetzt noch erklärst, wie du auf dein $\begin{eqnarray*} B^MB \end{eqnarray*}$ kommst, wäre das echt super, denn hier hat sicherlich keiner Lust, das für dich zu rechnen.

12.03.2007, 19:05

Shadow86

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Eigentlich gibts da ja eben nichts zu rechnen. $\begin{eqnarray*} B^MB: \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -2 & -5 & -5 \\ 2 & 5 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , weil B die Base ist, die aus den drei Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ besteht. Aber das finde ich zu einfach und bin mir deshalb nicht sicher. Aber weil bei $\begin{eqnarray*} B^MB \end{eqnarray*}$ zweimal B steht und sonst nichts anderes, kann ich nir nichts anderes darunter vorstellen.

13.03.2007, 01:56

WebFritzi

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Ja, und wo hat das etwas mit dem f zu tun? Nee, du musst die Bilder der Basisvektoren von B berechnen unter f.

13.03.2007, 13:34

Shadow86

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Ok, ich versuchs mal:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -2 & -5 & -5 \\ 2 & -5 & 6 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 9 & 10 & 6 \\ -20 & -24 & -15 \\ 20 & 26 & 17 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ (Das soll jetzt keine Multiplikation sein, ich weiß nur nicht, wo man nur einen Strich dazwischen machen kann)

Durch Umformung hab ich dann $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ Das heißt, die gesuchte Matrix $\begin{eqnarray*} B^MB \end{eqnarray*}$ ist
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hab auch die Probe gemacht -> würde passen

Und das Inverse davon ist dann $\begin{eqnarray*} B^MB^-1: \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 5 & -5/3 \\ 2 & -5 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

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