Beweis, dass Eigenvektoren orthogonal aufeinander stehen |
| 12.03.2007, 15:48 | physh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Beweis, dass Eigenvektoren orthogonal aufeinander stehen ich muss beweisen, dass Eigenvektoren orthogonal aufeinander stehen und weiß gar nicht, wo ich da anfangen soll. Kann ich Orthogonalität mit linearer Unabhängigkeit gleichsetzten? Bin für jeden Tip und jede Hilfe dankbar! physh |
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| 12.03.2007, 15:59 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Beweis, dass Eigenvektoren orthogonal aufeinander stehen
Wohl kaum. Sonst wäre ja jede Basis ein orthogonale. Da ist ein Gegenbeispiel schnell gefunden. |
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| 12.03.2007, 16:26 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Welche Vektoren im IR^2 stehen hier senkrecht aufeinander und welche sind linear unabhängig? |
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| 12.03.2007, 16:36 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Beweis, dass Eigenvektoren orthogonal aufeinander stehen
Was aber leider gar nicht stimmt... |
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| 12.03.2007, 16:39 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Beweis, dass Eigenvektoren orthogonal aufeinander stehen Oder Du verräts uns, welche spezielle Matrix gemeint ist 
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| 12.03.2007, 16:45 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich denke, physh meint einen allgemeinen Beweis. |
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| 12.03.2007, 16:51 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Allgemein ist die Aussage falsch, Gegenbeispiele sind einfach zu finden. Es wird wohl um symmetrische, oder allgemeiner hermitesche Matrizen gehen. |
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| 12.03.2007, 16:53 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke Arthur, die hatte ich ja gemeint. Wollte nur das physh selbst mal überlegt, wer ihm die Aufgabe gestellt hat und was der genau als Beweis gefordert hat. |
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| 12.03.2007, 17:03 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber selbst bei symmetrischen Matrizen kann es ggfs. linear unabhängige EV geben, die nicht senkrecht aufeinander stehen... es sollte also explizit von EV zu unterschiedlichen EW die Rede sein.
@tigerbine Da habe ich wohl deine Didaktik gestört, sorry. |
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| 12.03.2007, 22:29 | physh | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wow, bin total perplex, dass so schnell antworten da sind! toll! 1) Natürlich kann man orthogonalität nicht mit lin. Unabhängigkeit gleichsetzten! *Brett vorm Kopf* 2) Es handelt sich wirklich um symmetrische Matrizen. Dann wird das ganze auch schon klarer und ich hab auch einen Beweis gefunden, der mir einleuchtet: Seien v und u Eigenvektoren von A zu verschiedenen Eigenwerten a und b. Da es symmetrische Matrizen sind gilt: Auv=uA(transponiert)v. Daraus folgt Auv=uA(transponiert)v=uAv. Da u Eigenvektor zu a und v Eigenvektor zu b folgt daraus auv=ubv oder (a-b)(uv)=0. Nach Vorraussetzung ist a-b ungleich 0 daher uv=0. Ich denk das müsste richtig sein, oder? Vielen, vielen Dank nochmals!!! |
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| 13.03.2007, 02:06 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nee, sicher nicht, denn Auv ist natürlich Quatsch. EDIT: Benutze lieber LaTeX. Das kann man viel besser lesen. |
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