Reihenfolge Eigenwerte Jordansche Normalform

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gretl007 Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenfolge Eigenwerte Jordansche Normalform
Hallo!

Ich hab eine Frage zur Jordanschen Normalform:
Die Aufstellung basiert ja auf den Eigenwerten. Gibt es da eine bestimmte Reihenfolge, wie sie geordnet werden? (z.B. reelle zuerst, dann komplexe?) Sonst wär sie ja nicht eindeutig, oder?
Ich bin deshalb verwirrt, da ich in meinem Skriptum auf folgende Zeile gestoßen bin: (Voraussetzungen im Absatz davor: 2x2 Matrix, mind. ein EW ist 0) "Ist 0 in der 1. Zeile der Normalform stehender Eigenwert von A...." Aber angenommen ich hab 0 als EW und einen von 0 verschiedenen, dann kann ich ja selbst auswählen, ob 0 in der 1. oder 2. Zeile der Normalform steht....

Vielen Dank für Eure Hilfe!
lg gretl
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Also mit der Jordanschen Normalform kämpf ich auch grad noch rum, naja aber vll kann ich dir trotzdem helfen:

Also die Reihenfolge in der die Eigenwerte stehen hängt ja davon ab, in welcher Reihenfolge du die Eigenvektoren in die Matrix packst mit der du den Basiswechsel machst. Ich vermute dass man die Eigenvektoren die aus dem selben Eigenraum kommen nebeneinander packt, aber meiner meinung nach müsste das ja eigentlich egal sein.

Du brauchst Jordanform zum lösen von Dgl'en oder? Da müsste es ja egal sein, weil du ja die lösung von dem Transformierten Problem wieder mit deiner Matrix aus Eigenvektoren in die alte Basis zurücktransformierst. Und solange du mit derseleben Matrix hin und zurücktransformierst ist es meiner meinung nach egal.

Aber absolut keine Gewähr auf garnichts, ich habs selbst noch nicht verstanden Augenzwinkern
Beutlin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin auch gerade dabei, die Jordan'sche Normalform zu verstehen (Vordiplom!). Naja, so einigermaßen hab ich's kapiert.

Was der "Fischer" zu deiner Frage sagt, ist genau das, was du vermutest, dass nämlich die Reihenfolge der Jordanblöcke unwesentlich ist und nur von der Reihenfolge der Basisvektoren abhängt. Aber gleiche Eigenwerte stehen natürlich in einem Jordanblock zusammen (ich glaube, dass folgt schon aus dem Beweis).

Viel Spaß noch beim Jordanisieren!

Beutlin
Al Gebra Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenfolge Eigenwerte Jordansche Normalform
Zitat:
Original von gretl007
Gibt es da eine bestimmte Reihenfolge, wie sie geordnet werden? (z.B. reelle zuerst, dann komplexe?) Sonst wär sie ja nicht eindeutig, oder?


Man kann eine Reihenfolge vorgeben, in der die Jordanblöcke angeordnet werden. Dann ist die Jordansche Normalform eindeutig. Tut man das nicht, dann ist sie nur eindeutig bis auf eben diese Reihenfolge.

Welche Sortierung du dabei verwendest, hängt vom Zweck ab.

Zitat:

"Ist 0 in der 1. Zeile der Normalform stehender Eigenwert von A...." Aber angenommen ich hab 0 als EW und einen von 0 verschiedenen, dann kann ich ja selbst auswählen, ob 0 in der 1. oder 2. Zeile der Normalform steht....


Ja, die Eigenwerte können auch in anderer Reihenfolge angeordnet werden. In dem Fall ist einfach die Voraussetzung des Satzes nicht erfüllt, dass 0 der ganz oben links stehende Eigenwert ist. Da du aber die Reihenfolge selbst auswählen kannst, kannst du die EW so sortieren, dass die 0 ganz oben steht.

@Beutlin:
Die EW, die zu einem Jordanblock gehören, stehen natürlich in diesem Block zusammen, aber es kann auch sein, dass es mehrere Jordanblöcke zu einem EW gibt, dann müssen diese Blöcke nicht nebeneinander stehen, z.B. bei der Diagonalmatrix mit der Diagonalen (1 2 1).
gretl007 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenfolge Eigenwerte Jordansche Normalform
Vielen Dank.
Du schreibst: "Man kann eine Reihenfolge vorgeben" - gibt es eine, die häufig vorgegeben wird?
Ich versuche zB gerade aus der Matrix



Jordanform und zugehörige Transformationsmatrix zu erstellen.
2 ist dreifacher Eigenwert, Dimension des Eigenraums ist 2. Daher komme ich auf folgende 2 Möglichkeiten für die Jordanform:



oder



Als Eigenvektoren bekomme ich (-3,0,2) und (-1,2,0), die ich mit (1,0,0) zu einer Basis erweitere. Wie ordne ich nun diese Eigenvektoren richtig in der Transformationsmatrix an, sodass sie zur Jordanform passen??? Oder ist das egal? Ich brauche das ganze übrigens, um eine in Differntialgleichungen eine Basis des Lösungsraums für lineare DGL anzugeben.
Vielen Dank!
lg gretl
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