Wurzelgleichung und Definitionsbereich

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13.03.2007, 11:55

soda

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Wurzelgleichung und Definitionsbereich

Hallo Zusammen - suche Bestätigung oder Tadel Augenzwinkern

folgende Aufgabe.. ich hab die auch Lösen können (soweit ich denke das ich sie richtig gelöst habe geschockt

)

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x-1+\sqrt{2x+5}} = 2 \end{eqnarray*}$

Beim Definitionsbereich bin ich Verwirrt aber mal der Reihe nach:

Wurzel 1:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2x+5}\ge0 \rightarrow \end{eqnarray*}$ beide Seiten $\begin{eqnarray*} ()^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x+5\ge0 \rightarrow \end{eqnarray*}$ -5
$\begin{eqnarray*} 2x\ge-5 \rightarrow \end{eqnarray*}$ :2
$\begin{eqnarray*} x\ge-\frac{5}{2} \end{eqnarray*}$

Wurzel 2:
$\begin{eqnarray*} x-1+\sqrt{2x+5}\ge0 \rightarrow \end{eqnarray*}$ -x, +1
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2x+5}\ge -x+1 \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ()^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x+5\ge x^2-2x+1 \rightarrow \end{eqnarray*}$ -2x; +5 dann p-q Formel Anwenden
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{(\frac{-4}{2})^2-4} \rightarrow \end{eqnarray*}$ ausrechnen
$\begin{eqnarray*} 2 \pm \sqrt{4+4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=2+2\cdot\sqrt{2}= 4,8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=2-2\cdot\sqrt{2}= -0.82 \end{eqnarray*}$

Meine Definitionsmenge:
$\begin{eqnarray*} D=\{x | 2+2\cdot\sqrt{2}\ge x\ge-\frac{2}{5}\} \end{eqnarray*}$
Nehme -2/5 weil das "kleiner" ist als -0,82 ist

Herr Lehrer seine:
$\begin{eqnarray*} D=\{x | 2(1-\sqrt{2})\le x \le 2(1+\sqrt{2}\} \end{eqnarray*}$

Ich bekomme das gleiche nur sieht die Definitionsmenge anders aus... warum dieses? Es ist ja immer so das die Lösung des Lehrers stimmt - gewöhnt man sich dran aber ich verstehe es nicht.. auch warum der Operand jetzt von $\begin{eqnarray*} \ge \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \le \end{eqnarray*}$ wechselt?

Hoffe das kann mir jemand erklären.

Danke und MfG
Soda

13.03.2007, 12:07

klarsoweit

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RE: Wurzelgleichung und Definitionsbereich
Irgendwie liegt ihr beide daneben.

Da $\begin{eqnarray*} x-1+\sqrt{2x+5} \end{eqnarray*}$ monoton steigt, braucht man nur die Nullstelle. Für alle x, die größer oder gleich dieser Nullstelle und obendrein >= -5/2 sind, ist der Term definiert.

EDIT: Und so sieht die Funktion unter der "großen" Wurzel aus:

13.03.2007, 12:17

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Um klarsoweit etwas zu ergänzen: Ein schönes Beispiel dafür, dass Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist. Die entscheidende Stelle ist hier:

Zitat:

Original von soda
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2x+5}\ge -x+1 \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ()^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x+5\ge x^2-2x+1 \rightarrow \end{eqnarray*}$ -2x; +5 dann p-q Formel Anwenden

Die Ungleichung in der ersten Zeile ist auf jeden Fall für alle $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ erfüllt, denn da steht links als Wurzel was Nichtnegatives, und rechts was Nichtpositives.

Mit dem Quadrieren wird da einiges zerstört - dieses Quadrieren ist lediglich für den eingeschränkten Bereich $\begin{eqnarray*} x\leq 1 \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzumformung! Dass das dein Lehrer nicht gemerkt hat, ist schon ziemlich traurig.

13.03.2007, 15:14

soda

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Hhhm jetzt versteh ich gar nicht mehr wie ich den Definitionsbereich raus finden soll unglücklich

uhm das stell ich mich schon mal auf ne 6 ein Hammer

die "kleine" Wurzel stimmt aber oder?

Ok am besten schreib ich hier hin wie ich die Aufgabe gelöst habe, damit ich da wenigstens finde was schief lief:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x-1+\sqrt{2x+5}} -2 = 0 \end{eqnarray*}$
+2
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x-1+\sqrt{2x+5}} = 2 \end{eqnarray*}$
quadrieren (oder darf man das jetzt nicht verwirrt

) links nichtnegativ rechts nichtnegativ?
$\begin{eqnarray*} x-1+\sqrt{2x+5}=4 \end{eqnarray*}$
-x und +1
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2x+5}=5-x \end{eqnarray*}$
quadrieren.. naja solange $\begin{eqnarray*} x\le5 \end{eqnarray*}$ aber was heisst das jetzt? Fallunterscheidung?
$\begin{eqnarray*} 2x+5 = x^2-10x+25 \end{eqnarray*}$
-5;-2x
$\begin{eqnarray*} 0=x^2-12x+20 \end{eqnarray*}$
p-q Formel
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{-12}{2}\pm\sqrt{(\frac{-12}{2})^2-20} \end{eqnarray*}$
vereinfachen
$\begin{eqnarray*} 6\pm\sqrt{16} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = 6+4 = 10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = 6-4 = 2 \end{eqnarray*}$

total falsch? traurig

Das mit der "grossen" Wurzel schau ich mir noch an... hab aber keine Idee was das jetzt heisst einfach null gleichsetzen? wann mach ich das und wann nicht?

wohl zuviele Fragen
MfG soda

13.03.2007, 15:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von soda
Hhhm jetzt versteh ich gar nicht mehr wie ich den Definitionsbereich raus finden soll unglücklich

uhm das stell ich mich schon mal auf ne 6 ein Hammer

Wie ich oben schon sagte, brauchst du die Nullstelle von $\begin{eqnarray*} x-1+\sqrt{2x+5} \end{eqnarray*}$ . Rechts davon ist der Definitionsbereich unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs der "kleinen" Wurzel.

Zitat:

Original von soda
die "kleine" Wurzel stimmt aber oder?

Ja.

Zitat:

Original von soda
quadrieren (oder darf man das jetzt nicht verwirrt

) links nichtnegativ rechts nichtnegativ?

Du darfst quadrieren. Denn: wenn x vorher Lösung war, dann auch nachher. Aber: durch das Quadrieren kannst du dir zusätzliche "Lösungen" einhandeln. Deshalb anschließen die Lösungen prüfen.

Zitat:

Original von soda
$\begin{eqnarray*} x_1 = 6+4 = 10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = 6-4 = 2 \end{eqnarray*}$

Wie gesagt: diese Lösungen prüfen.

13.03.2007, 15:46

soda

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Zitat:

Original von klarsoweit
Wie ich oben schon sagte, brauchst du die Nullstelle von $\begin{eqnarray*} x-1+\sqrt{2x+5} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} x-1+\sqrt{2x+5}=0 \end{eqnarray*}$
das war so gemeint?

Zitat:

Original von klarsoweit
Rechts davon ist der Definitionsbereich unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs der "kleinen" Wurzel.

nicht $\begin{eqnarray*} x-1+\sqrt{2x+5}=0 \end{eqnarray*}$ ich kann ja anstelle von null nicht einen Definitionsbereich hinschreiben, weil den möchte ich ja gerne errechnen...

Zitat:

Original von klarsoweit
Wie gesagt: diese Lösungen prüfen.

mja die 10 ist falsch - aber dafür möchte ich ja zuerst (oder muss) den Definitionsbereich festlegen.

Aber eine Grundlegende Frage, weil ich da schon Probleme habe... Wann weiss ich ob ich quadrieren darf und wann nicht? eine Wurzel ist immer Positiv, dann darf das Rechts von der Wurzel nicht negativ sein... aber was tuh ich dann, wenn es mal nicht so ist... nichtnegativ = nichtnegativ... was wenn es rechts nichtpositiv ist?

MfG
Soda

13.03.2007, 17:03

soda

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Ich weiss ich bin ungeduldig traurig

Bin ich schon wieder auf dem richtigen Weg es falsch zu lösen?

MfG soda

13.03.2007, 19:09

klarsoweit

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Zitat:

Original von soda
$\begin{eqnarray*} x-1+\sqrt{2x+5}=0 \end{eqnarray*}$
das war so gemeint?

Ja.

Zitat:

Original von soda
nicht $\begin{eqnarray*} x-1+\sqrt{2x+5}=0 \end{eqnarray*}$ ich kann ja anstelle von null nicht einen Definitionsbereich hinschreiben, weil den möchte ich ja gerne errechnen...

Verstehe nicht, was du da sagen willst. Also nochmal:
Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x-1+\sqrt{2x+5} \end{eqnarray*}$ ist streng monoton steigend. Sie hat also bestenfalls genau eine Nullstelle. Wenn x_0 diese Nullstelle ist, dann ist f(x) >= 0 für alle x mit x>=x_0. Demzufolge ist auch die Wurzel daraus für alle x>=x_0 definiert.

Zitat:

Original von soda
Aber eine Grundlegende Frage, weil ich da schon Probleme habe... Wann weiss ich ob ich quadrieren darf und wann nicht? eine Wurzel ist immer Positiv, dann darf das Rechts von der Wurzel nicht negativ sein... aber was tuh ich dann, wenn es mal nicht so ist... nichtnegativ = nichtnegativ... was wenn es rechts nichtpositiv ist?

MfG
Soda

Prinzipiell darfst du immer quadrieren. Nur - und das ist das Problem - ist das keine Äquivalenzrelation, sondern nur eine Implikation. Das heißt: eine wahre Aussage bleibt beim Quadrieren wahr. Aber dummerweise kann aus einer falschen Aussage eine wahre Aussage werden. Beispiel:
-3 = 3 ist falsch.
Quadrieren liefert: 9 = 9 Das ist wahr.

13.03.2007, 22:29

soda

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Also um den zweiten Definitionsbereich zu finden setze ich
$\begin{eqnarray*} x-1+\sqrt{2x+5}=0 \end{eqnarray*}$

Ich glaub ich bin einfach zu blöd dafür...
Dann endet das ganze ja wieder in einer Quadratischen Gleichung mit zwei Nullstellen? Wie sonst löse ich dann diese Wurzelgleichung? indem ich nicht Quadriere? ne oder? Warum komme ich immer auf eine Quadratische Gleichung mit zwei Nullstellen wenn es nur eine gibt?... was mach ich falsch?

MfG
soda

14.03.2007, 08:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von soda
Dann endet das ganze ja wieder in einer Quadratischen Gleichung mit zwei Nullstellen?

Durchaus möglich. Ich habe es nicht gerechnet. Falls es 2 Nullstellen gibt, hat sich eine reingemogelt.

Zitat:

Original von soda
Dann endet das ganze ja wieder in einer Quadratischen Gleichung mit zwei Nullstellen?

Ja.

Zitat:

Original von soda
Wie sonst löse ich dann diese Wurzelgleichung?

Eben durch Quadrieren.

Zitat:

Original von soda
Warum komme ich immer auf eine Quadratische Gleichung mit zwei Nullstellen wenn es nur eine gibt?... was mach ich falsch?

Nichts. Wie ich schon (mittlerweile mehrmals) sagte, ist Quadrieren keine Äquivalenzumformung, sondern nur eine Implikation. Durch das Quadrieren können also Lösungen hinzukommen. Beispiel:

Löse folgende Gleichung:
x=-2
Nun habe ich Tomaten auf den Augen und sehe nicht, daß natürlich x=-2 die Lösung ist. Ich quadriere jetzt und komme auf:
x²=4
Da finde ich die Lösungen x=2 und x=-2. Und schwuppdiwupp habe ich eine "Lösung" zusätzlich bekommen. Man muß also die Probe machen, um Lösungen, die durch das Quadrieren hinzukamen, wieder auszuschließen.

14.03.2007, 09:03

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Was Gleichungen betrifft, gibt's dem was klarsoweit erklärt hat, nichts hinzuzusetzen.

Bei Ungleichungen - wie im vorliegenden Fall - ist die Sache allerdings noch etwas sorgfältiger zu betrachten: Aus $\begin{eqnarray*} a\leq b \end{eqnarray*}$ einfach auf $\begin{eqnarray*} a^2\leq b^2 \end{eqnarray*}$ zu schließen, und das dann anschließend in einer Probe zurechtbiegen, geht nicht auf. unglücklich

Tatsächlich klappt "Quadrieren unter Beibehaltung des Vergleichsoperators" nur, falls beide Seiten nichtnegativ sind - dazu reicht es natürlich, die Nichtnegativität der kleineren Seite zu gewährleisten, also $\begin{eqnarray*} a\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Wenn's nicht anders geht, muss man das durch Fallunterscheidung gewährleisten, und die Quadrierungsumformung gilt dann eben nur für diesen Fall.

Im vorliegenden Problem bedeutet das für $\begin{eqnarray*} -x+1 \leq \sqrt{2x+5} \end{eqnarray*}$ :

1.Fall: $\begin{eqnarray*} -x+1\geq 0 \end{eqnarray*}$

Hier ist jetzt durch die Fallbedingung (welche umgeformt $\begin{eqnarray*} x\leq 1 \end{eqnarray*}$ bedeutet) gewährleistet, dass beide Seiten der Ungleichung nichtnegativ sind. In diesem Unterfall ist jetzt das Quadrieren eine äquivalente Umformung, d.h., keine Gefahr des Einbringens von Scheinlösungen:

$\begin{eqnarray*} (-x+1)^2 \leq 2x+5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2-4x-4 \leq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2-2\sqrt{2} \leq x \leq 2+2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

In diese Lösung muss jetzt noch die Fallbedingung eingearbeitet werden, so dass am Ende $\begin{eqnarray*} 2-2\sqrt{2} \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$ übrigbleibt.

2.Fall: $\begin{eqnarray*} -x+1<0 \end{eqnarray*}$

Die rechte Seite $\begin{eqnarray*} \sqrt{2x+5} \end{eqnarray*}$ ist als Wurzel immer nichtnegativ, so dass aufgrund der Ungleichungskette $\begin{eqnarray*} -x+1 < 0 \leq \sqrt{2x+5} \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} -x+1 \leq \sqrt{2x+5} \end{eqnarray*}$ in diesem Unterfall stets erfüllt ist!
Also ist hier die Lösung schlicht $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$

Beide Fälle zusammengenommen ergibt sich die Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} x\geq 2-2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

14.03.2007, 10:55

soda

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Zitat:

Original von klarsoweit
Man muss also die Probe machen, um Lösungen, die durch das Quadrieren hinzukamen, wieder auszuschließen.

ok genau das mit den "falschen" Lösungen hab ich jetzt begriffen, und da soll mir der Definitionsbereich helfen... nicht das ich bei n Lösungen n mal prüfen muss...

$\begin{eqnarray*} x = 10 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} x= 2 \end{eqnarray*}$ sind Lösungen und bei der Prüfung ist 10 nicht richtig

Zitat:

Original von Arthur Dent
Beide Fälle zusammengenommen ergibt sich die Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} x\geq 2-2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Lösungs oder Definitionsmenge?
Das heißt alle x die grösser/gleich als $\begin{eqnarray*} 2-2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ sind gehören zur Lösungsmenge? aber so ist ja 10 auch eine Lösung... laut dem Definitionsbereich.. aber 10 ist keine... irgendwo muss gegen oben eine Bedingung sein, die, die 10 ausschließt.... dachte das sei oder laut meinem Lehrer ist dass die 4,8...

Zitat:

Original von Arthur Dent
In diese Lösung muss jetzt noch die Fallbedingung eingearbeitet werden, so dass am Ende $\begin{eqnarray*} 2-2\sqrt{2} \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$ übrigbleibt.

Warum die $\begin{eqnarray*} 2-2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und nicht die $\begin{eqnarray*} 2+2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ... aus welchem Grund die eine aber die andere nicht? sehe diesen schritt nicht und der Operand in $\begin{eqnarray*} (-x+1)^2 \leq 2x+5 \end{eqnarray*}$ warum ist der so?

Ich weiß ich tue mich schwer mit der Aufgabe aber möchte gerne wissen wie man das Löst.. auf die "Notizen vom Lehrer" kann ich ja scheinbar nicht gehen... was das ganze sinnlos macht - aber deswegen frage ich...

Danke für die Unterstützung - auch wenn es anstrengend ist jemanden wie mir zu helfen traurig

MfG
soda

14.03.2007, 11:04

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Zitat:

Original von soda

Zitat:

Original von Arthur Dent
Beide Fälle zusammengenommen ergibt sich die Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} x\geq 2-2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Lösungs oder Definitionsmenge?

Lösungsmenge der Ungleichung $\begin{eqnarray*} -x+1 \leq \sqrt{2x+5} \end{eqnarray*}$ = Definitionsmenge deines Originalwurzelterms

Soweit solltest du schon mitdenken.

14.03.2007, 11:07

klarsoweit

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RE: Wurzelgleichung und Definitionsbereich
Und damit gehört die 10 zwar zur Definitionsmenge von $\begin{eqnarray*} \sqrt{x-1+\sqrt{2x+5}} \end{eqnarray*}$ , aber nicht zur Lösungsmenge von
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x-1+\sqrt{2x+5}} = 2 \end{eqnarray*}$
Augenzwinkern

EDIT: Manche Scheinlösungen gehören nicht zur Definitionsmenge und können von daher ausgeschlossen werden. In diesem Fall ist das nicht so.

14.03.2007, 11:13

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Zitat:

Original von soda
aber so ist ja 10 auch eine Lösung

Genauso ist es, die 10 gehört zur Definitionsmenge des Terms.

Zitat:

Original von soda
dachte das sei oder laut meinem Lehrer ist dass die 4,8...

Das haben wir doch oben schon festgestellt, dass dein Lehrer hier Mist gebaut hat.

Zitat:

Original von soda
Warum die $\begin{eqnarray*} 2-2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und nicht die $\begin{eqnarray*} 2+2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ... aus welchem Grund die eine aber die andere nicht?

Wir befinden uns dort im 1.Fall, betrachten also nur $\begin{eqnarray*} x\in (-\infty,1] \end{eqnarray*}$ . Durch algebraische Umformungen gelangen wir zur Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} [2-2\sqrt{2},2+2\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ ,
aber das ist ja nicht die tatsächliche Lösungsmenge, da die getätigten Umformungen nur unter der Fallbedingung gültig waren! Also muss man die entsprechenden Mengen schneiden:

$\begin{eqnarray*} (-\infty,1] \cap [2-2\sqrt{2},2+2\sqrt{2}] = [2-2\sqrt{2},1] \end{eqnarray*}$

und erst dieser Durchschnitt ist die tatsächliche Lösungsmenge für diesen Unterfall.

14.03.2007, 11:41

soda

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RE: Wurzelgleichung und Definitionsbereich

Zitat:

Original von klarsoweit
EDIT: Manche Scheinlösungen gehören nicht zur Definitionsmenge und können von daher ausgeschlossen werden. In diesem Fall ist das nicht so.

aha! dann würde ich dafür plädieren immer zu prüfen weil auf die Definitionsmenge kein verlass ist (jedenfalls nicht immer).. ok!

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} (-\infty,1] \cap [2-2\sqrt{2},2+2\sqrt{2}] = [2-2\sqrt{2},1] \end{eqnarray*}$

das muss ich mir merken Freude

Also ich wage mal die Aussage...

Die komplette Definitionsmenge der Ungleichung ist:
$\begin{eqnarray*} D=\{x|x \ge -\frac{5}{2}\} \end{eqnarray*}$
oder muss ich das getrennt schreiben - ich muss ja da jetzt die beiden Teilungleichungen "vereinen" damit ich die gesamte Definitionsmenge erhalte... oder bin ich schon wieder falsch weil $\begin{eqnarray*} x\geq 2-2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
ist ja in $\begin{eqnarray*} x \ge -\frac{5}{2} \end{eqnarray*}$ enthalten oder muss ich mit UND explizit die beiden Verknüpfen.... oder gar nichts von alledem hrmmmmmm Forum Kloppe

MfG
soda

14.03.2007, 11:52

klarsoweit

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RE: Wurzelgleichung und Definitionsbereich

Zitat:

Original von soda
aha! dann würde ich dafür plädieren immer zu prüfen weil auf die Definitionsmenge kein verlass ist (jedenfalls nicht immer).. ok!

So ist es. Wenn eine "Lösung" zur Definitionsmenge gehört, muß man trotzdem und immer die Prüfung machen. Man kann sich die Prüfung logischerweise sparen, wenn man sieht, daß die "Lösung" nicht zur Definitionsmenge gehört

Zitat:

Original von soda
Die komplette Definitionsmenge der Ungleichung ist:
$\begin{eqnarray*} D=\{x|x \ge -\frac{5}{2}\} \end{eqnarray*}$
soda

Wenn ich in $\begin{eqnarray*} \sqrt{x-1+\sqrt{2x+5}} \end{eqnarray*}$ -2,5 einsetze, dann gibt es ein Problem.

Zitat:

Original von soda
oder muss ich mit UND explizit die beiden Verknüpfen

Genau. Wobei du auch noch den Fall x >= 1 noch untersuchen mußt.

14.03.2007, 21:00

soda

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Ich hab mir mal eine Definitionsmenge zusammengebastelt geschockt

ich weiss nicht genau wie ich das zusammenstellen muss damit das stimmt...

$\begin{eqnarray*} D=\{x | 1 \ge x \ge -\frac{5}{2}\} \end{eqnarray*}$
oder jetzt noch mit AND die andere zufügen (die ist ja eigentlich schon "drinn")

$\begin{eqnarray*} D=\{x | 1 \ge x \ge -\frac{5}{2} and x \ge 2-2\sqrt{2}\} \end{eqnarray*}$

oder "mit operator" | am ende Anfügen? mir fehlt das Grundlegende unglücklich

MfG
soda

14.03.2007, 22:33

klarsoweit

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$\begin{eqnarray*} D=\{x | 1 \ge x \ge -\frac{5}{2} \cap x \ge 2-2\sqrt{2}\} \end{eqnarray*}$

Das ist aber nicht die komplette Definitionsmenge, da du nur einen Fall untersucht hast. Wir wissen ja inzwischen, daß beispielsweise auch die 10 zur Definitionsmenge gehört. Obendrein sind alle x, die größer als 2-2*Wurzel(2) sind, auch größer als -5/2. Damit haben wir:

$\begin{eqnarray*} D=\{x | 1 \ge x \ge 2-2\sqrt{2}\} \end{eqnarray*}$

Und wie gesagt: der Fall x>=1 fehlt noch.

14.03.2007, 22:49

soda

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$\begin{eqnarray*} D=\{x | 1 \ge x \ge 2-2\sqrt{2} \cap x \ge 1\} \end{eqnarray*}$

so? Ich hab keine Ahnung mehr unglücklich

MfG
soda

14.03.2007, 23:07

Xmas

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Also die -4/5 habt ihr ja alle schön errechnet, aber danach tut ihr euch unnötig weh. Forum Kloppe

und verwirrt den armen soda ^^.

Also wenn man die -4/5 hat dann setzt man sie erstma ein

also (-4/5+1+0)^0,5=(1/5)^0,5

und jetzt hat man die Erkenntnis das bei größerwerdendem x der term unter der Wurzel Streng Monoton steigt, was bedeutet man muss ihn nicht extra prüfen berechen oder ähnliches ^^.

Also D={x|x>=-4/5}

Und Asche auf das Haupt deines Lehrers ihm hätte auffallen müssen das keine Obergrenze existieren kann, weil beim einsetzen von x=1000 z.B. eine nicht Komplexe zahl rauskommt.

f(1000)=(x-1+(2*x+5)^0.5)^0.5=32,30754....

14.03.2007, 23:43

soda

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Zitat:

Original von Xmas
Also wenn man die -4/5 hat dann setzt man sie erstma ein

Woher die -4/5 war das nicht $\begin{eqnarray*} 2-2\cdot\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist ja fast das gleiche aber nur fast verwirrt

Zitat:

Original von Xmas
Und Asche auf das Haupt deines Lehrers ihm hätte auffallen müssen das keine Obergrenze existieren kann

ok mach ich.... er schlägt mir dafür die Erde aufn Kopf für all meine Fehler und Dummheiten Hammer

MfG Soda

14.03.2007, 23:49

Xmas

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die -4/5 resultieren aus 2x+5>=0 Augenzwinkern

14.03.2007, 23:56

soda

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ehm ich gehör ja nicht zu den smarten aber

$\begin{eqnarray*} 2x+5\ge0 \end{eqnarray*}$ gibt doch $\begin{eqnarray*} x=-\frac{5}{2} \end{eqnarray*}$

verwirrt

MfG
soda

15.03.2007, 00:02

Xmas

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Omg da hab ich wohl quer gelesen und ne zahl in dem falschen zusammenhang gesehn verwirrt

*peinlich* dann eben Asche auf mein haupt.

Aber eine obergrenze kann es trotzdem nicht geben für x, da für ein sehr großes x ein wert rauskommt ^^

sorry für die verwirrung is scho spät Hammer

15.03.2007, 00:05

pseudo-nym

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Zitat:

Original von soda
$\begin{eqnarray*} 2x+5\ge0 \end{eqnarray*}$ gibt doch $\begin{eqnarray*} x=-\frac{5}{2} \end{eqnarray*}$

aus einer Ungleichung kann wohl schlecht eine Gleichung werden.

15.03.2007, 00:07

soda

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Xmas
sorry für die verwirrung is scho spät Hammer

ist ja geklärt smile

... spät trifft es... Wink

Morgen Matheprüfung... das wird ne gute 6.. aber wenigstens keine schlechte 5... used to it Forum Kloppe

Danke für die Hilfe

Nacht...

MfG
soda

Edit

Zitat:

Original von pseudo-nym
unglücklich

aus einer Ungleichung kann wohl schlecht eine Gleichung werden.

duuh

Bett sofort! sorry ich mach immer solche Fehler und natürlich schlimmere unglücklich

15.03.2007, 08:21

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Xmas
und jetzt hat man die Erkenntnis das bei größerwerdendem x der term unter der Wurzel Streng Monoton steigt, was bedeutet man muss ihn nicht extra prüfen berechen oder ähnliches ^^.

Meine Rede. Siehe:

Zitat:

Original von klarsoweit
Da $\begin{eqnarray*} x-1+\sqrt{2x+5} \end{eqnarray*}$ monoton steigt, braucht man nur die Nullstelle. Für alle x, die größer oder gleich dieser Nullstelle und obendrein >= -5/2 sind, ist der Term definiert.

Zitat:

Original von Xmas
Also D={x|x>=-4/5}

Arthur Dent hat in einem seiner Beiträge den richtigen Definitionsbereich hergeleitet.

Zitat:

Original von Xmas
Also die -4/5 habt ihr ja alle schön errechnet, aber danach tut ihr euch unnötig weh. Forum Kloppe

und verwirrt den armen soda ^^.

Also wer verwirrt hier wen?

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