Polynominterpolation

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Sabi83 Auf diesen Beitrag antworten »
Polynominterpolation
Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich überhaupt nicht weiter weiß:

Gegeben seien h>0, sowie die vier äquidistanten Punkte .

a) Es sei . Berechnen Sie das Polynom (Polynom 3. Grades) mit sowie

b) Finden Sie eine Zahl , die unabhängig von und ist und die Ungleichung



für alle erfüllt.


Also ganz offen und ehrlich: Ich habe wirklich gar keine Ahnung wie ich überhaupt anfangen soll. Schon bei a) dieses Maximum. Soll das bedeuten, dass |f(x) - P(x)| maximal sein soll? Ich verstehe nichteinmal die Aufgabenstellung unglücklich

Es wäre supernett wenn mir jemand helfen könnte! Schonmal vielen Dank!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynominterpolation
Sei h > 0 gegeben. Dann lauten die 4 Punkte:



Die zu interpolierende Funktion lautet:



Daher die zugehörigen Funktionswerte:




Aufgabe a

Berechne das Interpolationspolynom . Dazu kannst du die Lagrange-Darstellung oder Newton darstellung mit dividierten Differenzen Wählen.

Danach sollst Du das Maximimum des Interpolationsfehlers auf dem Intervall bestimmen. Das dürdte ja nicht so schwer sein, da beide Funktionen Polynome sind. Also auch ihre Differenzfunktion.
BananaJoe Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Sabi, hallo tigerbine!

Ich habe das mal zur Übung mit dividierten Differenzen gemacht. Das Ergebnis ist gelinde gesagt etwas langatmig.
Wenn ich mir das als Klausuraufgabe vorstelle - wie habt ihr denn (noch in Aufgabenteil a) ) das Maximum bestimmt? Ich meine - man braucht schon gute Nerven um das Polynom auszumultiplizieren und zu vereinfachen. Gibts da einen Trick für das Maximum ohne vereinfachen zu müssen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Leider sind die Verfahren eben etwas langatmig. Da muss du bei der Bestimmung des Polynoms eben durch. Sei froh, dass nur einer Varinate zu berechnen nötig ist. In vielen Klausuren lautet die Aufgabe:

Berechne die Monom, Newton und Lagrange-Form des IPs.
Sabi83 Auf diesen Beitrag antworten »

Noch einmal ich Augenzwinkern
Habe jetzt erstmal alle anderen Aufgaben erledigt, aber an dieser hänge ich immer noch. Die a) konnte ich jetzt dank deiner Hilfe lösen (ich hatte das Maximum als zusätzliche Voraussetzung interpretiert ...), aber bei der b) komme ich immer noch nicht sehr weit.

Hättest du vielleicht nochmal einen Tipp für mich? Ich muß ja irgendetwas abschätzen, aber ich sehe den Zusammenhang nicht - also was ich abschätzen kann.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Naj, es wäre schon hilfreich gewesen, wenn Du das Polynom einmal angegeben hättest. Wieso ist das zu bestimmende Maximum eine Voraussetzung?
 
 
Sabi83 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, bei a) ist das Maximum eben keine Voraussetzung sondern ein Aufgabenteil. Deshalb hatte ich die Aufgabe so falsch interpretiert Augenzwinkern

Aber bei b) steht doch, soll unabhängig sein von . Das Polynom aus a) ist doch eine Approximation für ein explizites . Damit kann man in b) doch nichts anfangen, oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, so kann ich deine Ergebnisse von a nicht kontrollieren.

Was weißt Du über der Interpolationsfehler

?
Sabi83 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja smile

Einfach das Restglied der Polynominterpolation abschätzen:



mit
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, so ganz passt das noch nicht. Etwas im Zeitraffer und dem Wissen über dividierte Differenzen erhält man folgende Darstellung des Interpolationfehlers:




Da nun aber nicht explizit bekannt ist, schätz man weiter ab:



für alle


Nun müssen wir die Variablen noch an deine Aufgabe anpassen:



Damit erhält man die Abschätzung:

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