Vektoriale Aufgaben

05.10.2004, 18:29

malibubu

Vektoriale Aufgaben

Hi Zusammen,

ich schreibe morgen eine Klausur in Mathe (LK 13) und verstehe 4 Aufgaben nicht:

1. Bestimmen Sie alle reelen Zahlen a so, dass |(a,2a,a-1)|=7

2. Bestimmen Sie Zahlen r und s so, dass A-rB-sC orthogonal zu B und C ist (die Großgeschriebenen Buchstaben sind Vektoren!)
a) A=(-9, 11, 2) B=(-4,0,1) C=(-1,1,-2)

3. Bestimmen Sie alle Vektoren, die mit (1,1,0) einen Winkel von 60° UND MIT (1,-1,-1) einen Winkel von 90° bilden.

4. Bestimmen Sie die Koordinaten p1,p2 von P(p1|p2|5) so, dass für A(2|-1|3) und B(-4|6|8) gilt: |PA|=7 und |PB|=5

ICH WÄRE EUCH SEHR DANKBAR, WENN SICH JEMAND MAL MEIN PROBLEM ANSEHEN KÖNNTE!

Danke im Voraus, ist dringend!

05.10.2004, 19:04

Calvin

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RE: Vektoriale Aufgaben
Ich habe mir erlaubt, die Aufgaben in schönere Schreibweise zu bringen.

Zitat:

1. Bestimmen Sie alle reelen Zahlen a so, dass $\begin{eqnarray*} \mid \begin{pmatrix} a \\ 2a \\ a-1 \end{pmatrix} \mid = 7 \end{eqnarray*}$

Weißt du, wie man den Betrag eines Vektors berechnet? Wenn ja, dann mache das mal mit deinem Vektor und löse die Gleichung nach a auf.

Zitat:

2. Bestimmen Sie Zahlen r und s so, dass $\begin{eqnarray*} \vec{d}=\begin{pmatrix} 9 \\ 11 \\ 2 \end{pmatrix}-r\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}-s\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ orthogonal zu $\begin{eqnarray*} \vec{b}=\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{c}=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn du den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{d} \end{eqnarray*}$ als einen Vektor schreibst, also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 9+4r+s \\ 11-s \\ 2-r+2s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , dann kannst du den Winkel zwischen den Vektoren d und b bzw. d und c ausrechnen. Welche Bedingung muß erfüllt sein, dass d senkrecht zu b bzw. d senkrecht zu c ist? Du erhälst ein Gleichungssystem, das du lösen mußt.

Zitat:

3. Bestimmen Sie alle Vektoren, die mit (1,1,0) einen Winkel von 60° UND MIT (1,-1,-1) einen Winkel von 90° bilden.

Weißt du, wie man den Winkel zwischen 2 Vektoren berechnet? Wenn ja, dann setze alles ein [dein unbekannter Vektor hat die Koordinaten (x/y/z)], was du hast und löse nach dem auf, was noch nicht bekannt ist. Du bekommst 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Dieses Gleichungssystem mußt du lösen.

Zitat:

4. Bestimmen Sie die Koordinaten p1,p2 von P(p1|p2|5) so, dass für A(2|-1|3) und B(-4|6|8 ) gilt: |PA|=7 und |PB|=5

Bestimme die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{PA} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{PB} \end{eqnarray*}$ und mache es wie in Aufgabe 1. Einziger Unterschied: diesmal hast du 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.

Falls noch Fragen sind, einfach mit deinen Ansätzen posten smile

Gruß
Tobi

05.10.2004, 19:23

WebFritzi

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Point B in task four rocks! 8)

EDIT: Oooch schade... Da isser wegeditiert. traurig

05.10.2004, 19:29

malibubu

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Also, erstmal vielen Dank!

zu 1.:
klar weiß ich das:

= WURZEL[ a^2 + (2a)^2 + (a-1)^2

Aber was nun? Wie rechnet man das rückwärst?

05.10.2004, 19:33

malibubu

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Und.

1=|(1,1,0) * (x,y,z)| / |(1,1,0)| * | |(x,y,z)|
Dann mahl (x,y,z)

-> |(x,y,z)| = |x,y,0| / (1,1,0)

Und nun?

05.10.2004, 19:50

Calvin

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Hi malibubu,

rückwärts mußt du nichts rechnen. Du hast den Betrag des Vektors abhängig von a richtig ausgerechnet. Du muß nun alle a suchen, für die dieser Ausdruck "7" ergibt. Du hast also die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+(2a)^2+(a-1)^2} = 7 \end{eqnarray*}$ . Diese kannst du nach a auflösen (Tip: quadrieren)

Zu deinem nächsten Posting:

zunächst mal ist cos(60°)=1/2. Und dann hast du noch ein paar weitere kleine Fehler beim Umformen deiner Gleichung gemacht. Das Skalarprodukt im Zähler rechts ist eine reelle Zahl. Bei dir sieht es so aus, als wäre es ein Vektor. Und den Betrag von (1/1/0) kannst du auch ausrechnen.

Um das weitere Vorgehen zu vereinfachen könnte man OBDA (=ohne Beschränkung der Allgemeinheit) den Betrag von (x/y/z) = 1 setzen, da es bei dem gesuchten Vektor nicht um die Länge, sondern um die Richtung geht. Bin mir aber nicht ganz sicher. Bestätigt oder widerlegt jemand bitte diese Aussage

Nach dem gleichen Schema kannst du dir eine zweite Gleichung aufstellen.

Gruß
Tobi

ps @webfritzi: Extra für dich: B(-4/6/8) Big Laugh

05.10.2004, 20:05

malibubu

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Ok, also:

a^2+(2a)^2+(a-1)^2=49
a^2+4a^2+a^2-2a-1 = 49
6a^2-2a-1=49 | durch 6
a^2-1/3a-1/6=49/6
(a-1/6)^2 + 1/36= 49/6 |+-WURZEL
a = WURZEL[8/5/6] + 1^/6
oder
a = -WURZEL[8/5/6] + 1^/6

RICHTIG?
DANKE

05.10.2004, 20:14

Calvin

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Es ist ein Vorzeichenfehler drin. In der 2. Zeile muß es am Ende "+1" anstatt "-1"heißen. Dann kommen "schöne" Ergebnisse raus.
Beim "zurückrechnen" der binomischen Formel in Zeile 5 ist auch noch ein Fehler drin. Aber vielleicht erledigt sich das bei deinem nächsten Versuch smile

Gruß
Tobi

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