Quadratische Folge |
| 09.11.2003, 15:42 | alpha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Quadratische Folge hier mal was anspruchsvolleres: Ich suche eine stichhaltige Begründung, warum gilt: 1²+2²+3²+...+n²=1/6*n(n+1)(2n+1) PS: Damit nicht noch einer fragt: Nein, ich weiß die Lösung noch nicht... henrik hat mir zwar schon ein paar Ansätze geschickt, aus denen werd ich aber nicht schlau... (Die Ansätze sind im Anhang) PS2: Ich bin leider nicht der Profi im Umformen, also wäre es schön, wenn ihr die Antworten mit möglichst vielen Zwischenschritten schreiben könntet... @jama: im tipps&tricks-teil hab ich auch nichts gefunden... |
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| 09.11.2003, 16:44 | Steve_FL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hm 
Ich weiss nicht, aber vielleicht kommt man mit der Summenformel weiter. Hab im Moment leider keine Zeit dazu, aber ich hab diese Aufgabe schon mal irgendwo gelesen... Summe[k = 0; n]((n-k)^2) so ergibt das eigentlich: (n-0)^2 + (n-1)^2 + (n-2)^2 + (n-3)^2 + ...+ (n-n)^2 oder umgeformt: 0^2 + (n-(n-1))^2 + ... + n^2 = 0 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + n^2 jetzt müsste man halt vielleicht diese Summenformel auflösen. Aber das haben wir in der Schule noch nicht gemacht :P ok...hab jetzt doch das Ding wieder gefunden, aber noch nicht gelesen, deshalb wird meine Lösung evt. ganz anders sein
http://www.imosuisse.ch/index.php?TPL=12...mbinatorik3.pdf mfg |
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| 09.11.2003, 17:57 | BlackJack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich würd es mit der vollständigen induktion versuchen. |
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| 09.11.2003, 21:24 | Steve_FL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mit der vollständigen Induktion beweist man doch lediglich, dass dieser Term immer gilt. Wenn ich ihn aber recht verstanden habe, will er wissen, wie man auf diese Formel kommt... mfg |
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| 09.11.2003, 22:13 | alpha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also, ich will gerne das ganze so weit verstanden haben, dass ich selber es glaube, und nicht nur weil es mein mathebuch so vorgibt
wie gesagt: hiterfrage alles... |
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| 09.11.2003, 22:33 | DeGT | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann rate ich dir zur Induktion. Ich hab dazu ein nettes englisches Buch, welches ich grad lese. An sich kannst Du das beweisen, indem Du es für n=1 beweist und dann zeigst, dass, wenn es für n-1 gilt, es auch für n gilt. (oder in Abwandlungen davon) |
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| 09.11.2003, 23:00 | henrik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
naja denk ma er will es nich bewiesen sondern auf eine schöne art gezeigt bekommen... 1/6*n(n+1)(2n+1) = n*(n+1) / 2 * (2n+1)/3 = (1 + 2 + 3 + .. + n) * (2n+1)/3 naja bringt wohl auch nix *g* n² = (2n-1) + (2(n-1)-1) + .. + 5 + 3 + 1 vielleicht hilft das O_o aber das is ja im prinzip das was in seinem anhang steht von mir. |
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| 10.11.2003, 17:01 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In unserem Buch ist das so schön drin, da wird das ganze mit einer geschickten Anordnung von Flächen erreicht. Wenn ich mal wieder mehr Zeit habe, poste ich das mal, wenn du es bis dahin noch brauchst. |
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| 10.11.2003, 17:04 | alpha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
flächen sind immer gut
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| 10.11.2003, 22:35 | phil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich habs hergeleitet, zwar nicht mit flaechen, aber mit kloetzchen die ne pyramide bilden 
also ich fang mit der groessten flaeche an n^2 leg dann (n-1)^2 drauf, usw. bis ich nur noch ein kloetzchen hab... dann fuel ich den raum an den seiten der kloetzen auf, damit ich eine pyramide hab... und zieh diesen raum bei meiner rechnung wieder ab... ich hab ein paar bilder gemalt
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| 10.11.2003, 22:39 | phil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenns nicht klar ist, dann frag bitte
und wenn ihr wollt schreib ich das ganze noch mal schoen mit latex fuer die tipps und tricks sektion und mach ein paar grafiken dazu... |
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| 10.11.2003, 23:30 | alpha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die umformung hab ich verstanden, aber die erste gleichung, muss ich zugeben, nicht 
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| 11.11.2003, 00:07 | phil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, kein problem... ich nehm mal z.b. an dass n=6 und ich will wissen wieviel 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 ist. dann bau ich mir eine pyramide unten leg ich 36 kloetzchen hin, darauf 25, darauf 16 usw... das ist nun aber keine wirkliche pyramide, weil sie ja aus kloetzchen bestecht, also lauter ecken und kanten hat. ich will aber eine echte pyramide und deshalb fuell ich die kanten aus um zu einer echten pyramide zu kommen... und fuer das ausfuellen brauch ich viele 1/2 kloetze und ein paar 1/3 kloetze... (siehe zeichnung) fuer die 1/2 kloetze brauch ich 2 * (1/2 + 2/2 + 3/2 + 4/2 + 5/2 + 6/2) und das ist (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 2 = (n * n+1) / 2 jetzt fehlen noch die 1/3 kloetze die genau an der kante verlaufen, also n+1 * 1 / 3 (ich geh bis n+1 weil ich sowohl am boden was hinleg sowie auch auf die spitze was draufleg....) jetzt ist die pyramide perfekt
also hab ich fuer das volumen der pyramide: 1/3 * {grundflaeche} 7 * 7 * {hoehe} 7 = = {kloetzchenpyramide} (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) + {halbe kloetzchen} (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) + {drittel kloetzchen} 7 * 1/3 oder allgemein: 1/3 * (n+1)^3 = x + (n * n+1)/2 + (n+1)/3 => x = 1/3 * (n+1)^3 - (n * n+1)/2 - (n+1)/3
/edit: rechtschreibfehler... |
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| 11.11.2003, 07:50 | alpha | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
vielen dank, jetzt hab ichs kapiert. PS: erinnert irgendwie an die alten legodächer
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| 11.11.2003, 15:28 | phil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bitte
genau so hab ichs mir ueberlegt *g* |
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| 14.11.2003, 19:25 | martins1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier ein mathematischer Beweis ohne Induktion: (n+1)³-n³=3n²+3n+1 2³-1³=3*1²+3*1+1 3³-2³=3*2²+3*2+1 4³-3³=3*3³+3*3+1 ... (k+1)³-k³=3*k³+3*k+1 ... (n+1)³-n³=3*n³+3*n+1 Jetzt summiert man alle Gleichungen 2³-1³+3³-2³+4³-3³+...+(n+1)³-n³=3(1²+2²+3³+...+n²)+3(1+2+3+...+n)+n*1 Links fallen fast alle Summanden weg (n+1)³-1=3(1²+2²+3³+...+n²)+3n(n+1)/2+n n³+3n²+3n+1-1-3n(n+1)/2-n=3(1²+2²+3³+...+n²) n³+3n²+2n-3n(n+1)/2=3(1²+2²+3³+...+n²) n/2(2n²+6n+4-3n-3)=3(1²+2²+3³+...+n²) n/2(2n²+3n+1)=3(1²+2²+3³+...+n²) n/2*(n+1)(2n+1)=3(1²+2²+3³+...+n²) 1²+2²+3³+...+n²=1/6*n(n+1)(2n+1) Und wir sind fertig. |
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| 15.11.2003, 10:29 | johko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Quadratische Folge Das ist auch gut dargestellt in ANSCHAULICHE ANALYSIS I(Ehrenwirth-Verlag) - wenns das noch irgendwo aufzutreiben ist. Johko |
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