Satz von der Umkehrfunktion

09.10.2004, 17:07

Reinhard

Satz von der Umkehrfunktion

Bitte um eure Hilfe.

Gegeben: f(x1,x2) = |x2-x1|
|exp(x2)|

Gesucht :Ableitung der zu f(x1,x2) inversen Funktion zuerst allgemein,dann im Punkt (1,1).

Laut meiner Auffassung existiert diese nur falls die Matrix regulär ist.

Gradient von f(x1,x2) = -1 1
0 e^x2

determinante = -e^x2 --> immer regulär d.h. umkehrbar.

Ansatz:

y1 = -x1+x2
y2 = e^x2 ---> log(y1) = x2

y2 = -x1 + log(y1)
x1 = -y2 + log(y1)

h(y1,y2) = -y1 + log(y2)
0 log(y2)

Gradient von h(y1,y2) =

-1 1/y2
0 1/y2

Dies oben ist nun die allgemeine Ableitung

Nun mit Punkt (1,1)

-1 1/y2
0 1/y2

Punkt einsetzen ergibt = -1

------------------------------------------
Nun meine eigentliche Frage: das oben, hoffentlich müsste stimmen. Doch muss, damit die Matrix umkehrbar ist, die Matrix IMMER regulär sein ?
Hab da noch ein spezielles Beispiel:

f(x,y) = [xy]
[e^y-y]
a) In welchen Punkten lokal invertierbar ?
ist invertierbar außer y = 0;
da
Gradient f(x,y) = y x
0 e^y -1

ergibt y*(e^y-1) = 0

b) Albeitung der zu f inversen Funktion zuerst allgemein, dann im Punkt (1,0)

Existiert diese nun, oder geht das nicht, da nihct überall invertierbar?

Es wäre echt hilfreich, könnte mir dies jemand, der sich sehr gut mit dem auskennt, beantwortet.

Liebe Grüße Reinhad

10.10.2004, 16:24

WebFritzi

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RE: Satz von der Umkehrfunktion
Du brauchst doch garnicht so viel rumzurechnen. Der Satz von der lokalen Umkehrbarkeit liefert dir doch gleich die Ableitung der Umkehrabbildung mit. Ist g die Umkehrrabbildung, dann ist

$\begin{eqnarray*} g'( f(x,y) ) = f'(x,y)^{-1} \end{eqnarray*}$

Deine Abbildung f besitzt übrigens keinen Gradienten, da man einen Gradienten nur für Funktionen von R^n nach R definiert. Deine Abbildung bildet aber nach R^2 ab. Man nennt das dann Ableitung - nicht Gradient. Und die Berechnung dieser ist dir nicht gelungen. Ist nämlich

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{pmatrix}y-x\\e^x\end{pmatrix}\;, \end{eqnarray*}$

dann ist

$\begin{eqnarray*} f'(x,y) = \begin{pmatrix}-1 & 1\\e^x & 0\end{pmatrix}\;. \end{eqnarray*}$

Nach obigem brauchst du jetzt also nur noch die inverse Matrix von f ' zu berechnen und (1,1) einzusetzen.

11.10.2004, 13:14

Reinhard

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oben hab ich mich verschrieben, da hat statt e^x1 e^x2 gehört. Sonst stimmt alles, genau das ergebnis kommt auch raus im Skriptum.

Könnte mir wer meine zweite Frage beantworten oder rechnen, was rauskommt ? bin mir total unsicher, und hab diese Woche klausur (leider kennt sich da niemand wirklich aus ..)

L.g Reinhard

PS: Danke für die Hilfen

11.10.2004, 21:19

WebFritzi

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RE: Satz von der Umkehrfunktion

Zitat:

Original von Reinhard
b) Albeitung der zu f inversen Funktion zuerst allgemein, dann im Punkt (1,0)

Existiert diese nun, oder geht das nicht, da nihct überall invertierbar?

Na klar existiert die. Nochmal: der Satz heißt: "Satz von der lokalen Umkehrbarkeit". In (1,0) ist die Ableitung nicht Null. Also ist f in einer Umgebung um (1,0) umkehrbar. Die Umkehrfunktion g ist dann differenzierbar mit $\begin{eqnarray*} g'( f(x,y) ) = f'(x,y)^{-1} \end{eqnarray*}$ . Das hatte ich aber schon alles geschrieben.

12.10.2004, 01:26

Reinhard

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ich wäre dir echt dankbar, wenn du mir das eine Beispiel auch rechnen könntest, ich weiß noch immer nicht , wie das genau geht.

Wenn ich eine VOrlage habe, dann kann ich mir das selbst gut überlegen...., ansonsten tu ich mir doch schwer...

L.g REinhard

Danke für die Gedult *g

12.10.2004, 01:53

WebFritzi

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Ne, vorrechnen tu ich dir nix.

Zitat:

Gesucht :Ableitung der zu f inversen Funktion zuerst allgemein,dann im Punkt (1,1).

Die Formel für die Ableitung habe ich dir schon 2 mal hingeschrieben. Setz doch einfach ein. Du musst dir dabei nur klar machen, dass f'(x,y) eine 2x2-Matrix ist, dass also $\begin{eqnarray*} f'(x,y)^{-1} \end{eqnarray*}$ die inverse Matrix ist. Für das Berechnen der Inversen einer 2x2-Matrix gibt es die schöne Formel:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\-c & a\end{pmatrix}\;. \end{eqnarray*}$

12.10.2004, 17:44

Philipp-ER

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Hi WebFritzi.
Kann man mit dieser Formel wirklich auf einfachere Art und Weise die allgemeine Ableitung der Umkehrfunktion berechnen (dass es damit für einen konkreten Punkt gut geht, ist mir klar)?
Musst du nicht trotzdem den Term der Umkehrfunktion bestimmen, um die Formel überhaupt anwenden zu können?
Man sucht ja g'(x,y), doch da steht g'(f(x,y)) und um daraus das richtige Ergebnis zu gewinnen muss man ja trotzdem erstmal den Term der Umkehrfunktion bestimmen, oder nicht?

12.10.2004, 18:05

WebFritzi

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Hmmm, ich weiß nicht genau, wie die Aufgabe gemeint ist. Es kann ja auch sein, dass man g'(f(x,y)) allgemein berechnen soll. Aber ich glaube, du hast recht.

@Reinhard: Zeige zuerst, dass $\begin{eqnarray*} f: \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}^2 \end{eqnarray*}$ bijektiv ist. Dann weißt du, dass es nicht nur lokal ein Umkehrfunktion gibt, sondern überall. Bestimme dann die Umkehrfunktion g. Dann ist mit $\begin{eqnarray*} f(x,y) = (a,b) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} g'(a,b) = g'(f(x,y)) = f'(x,y)^{-1} = f'(g(a,b))^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Du musst also nur noch allgemein die Inverse von f'(x,y) zu berechnen (dazu hast du meine Formel) und da g(a,b) einsetzen.

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