kern einer matrix

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gast Auf diesen Beitrag antworten »
kern einer matrix
kuckuck,

bin beim "rum-googeln" durch zufall auf eure seite geraten.
großes lob an euch, hier wird einem echt geholfen...

nun meine frage:

ich soll den kern einer matrix bestimmen, weiß aber noch nicht wie ich das anstellen soll:-(

kann mir jemand das prinzip anhand einen einfachen beispiels erklären??

danke euch, schönen sonntag noch
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Den Kern einer Abbildung sind alle diejenigen Elemente aus ihrer Definitionsmenge, die auf 0 abgebildet werden.

Bei einer Matrix läuft das ähnlich (jede Matrix ist ja auch Abbildendenmatrix einer lin. Abbildung).

Unter dem Kern einer Abbildung versteht man die Lösungsmenge des zu der Matrix gehörigen homogenen linearen Gleichungssystems.



Hast du also z.B. eine 3x3 Matrix
, so ist der Kern von A gerade die Lösungsmenge des Gleichungssystems:

Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Der folgende Beitrag braucht dich nicht zu interessieren "gast" Augenzwinkern .

@Tobias

Zitat:
Den Kern einer Abbildung sind alle diejenigen Elemente aus ihrer Definitionsmenge, die auf 0 abgebildet werden.


Im Mathematischen Sinne kenne ich diese Definition auch. Wir haben aber für den Kern einer Relation (Abbildung im speziellen) in unserer theorie Vorlesung den Kern definiert als



Das heißt also der Kern wäre in diesem Sinne jene Elemente die mit min. 2 gleichen Elementen der "Bildmenge" in relation stehen. mich würde mal interessieren woher diese Unterschiede kommen?

Würde man sagen können, das bei linearen Abbildungen, die abbildung auf die 0 als einzige mehrfach vorkommt, wären diese Definitionen sogar verträglich. An dem Punkt wäre ich mir allerdings nicht sicher.
gast Auf diesen Beitrag antworten »

hallo, danke für die schnelle antwort :]

heisst es also, dass ich auf dieses x kommen muß?

Ax=0vektor

also nach x umformen, wobei A(hoch-1) ja dann die inverse der Matrix ist, oder?

also muß ich erst die inverse von A bilden und dann folgende gleichung (mit matrizenmultiplikation)lösen?

x= A(hoch-1) * 0-vektor

oder liege ich völlig falsch????

Beispielatrix: 1 2
2 1

kann ir das jemand an diese beispiel erklären, komme mit diesen definitioen nicht so richtig klar Hilfe
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist richtig. Der Kern sind alle x die das Gleichungssystem Ax = 0 erfüllen. Du musst also das Gleichungssystem Ax = 0 lösen. Wie Du das machst ist Dir überlassen. Ax = 0 über die Inverse zu lösen ergibt keinen Sinn denn das homogene Gleichungssystem besitzt für reguläre Matrizen NUR die triviale Lösung. Dann wäre der Kern = {0}. Ich würde vorschlagen Du verwendest den Gaußalgorithmus Augenzwinkern
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

@Mazze:

Diese Definition kenne ich nicht, könnte aber sein, dass es bei linearen Abbildungen (dafür wurde es bei uns nur definiert) auf dasselbe hinausläuft.

Wäre es bei deiner Definition nicht so, dass jedes Element aus einer mehrelementigen Faser zum Kern gehört?
 
 
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht was eine Faser ist Augenzwinkern . Ich schätze mal wir sollten die Diskussion nicht zu weit vom Thema weg führen, sonst sieht "gast" den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr Big Laugh .

Aber noch ein Beispiel

der Kern von etwa x² wäre nach meiner Def.

{(x,-x),(x,x)} da f(x) = f(x) und f(x) = f(-x)

Übrigens ist der Kern einer Abbildung dann immer eine Äquivalenzrelation
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Du kennst doch bestimmt das Urbild einer Funktion?

Hast du eine Funktion und , dann ist das Urbild .

Die Faser eines Elementes aus der Bildmenge ist das Urbild bezüglich dieses Elementes. (Das Urbild genau eines Elementes nennt man Faser)
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ahjo, nach der Definition wäre natürlich

Zitat:
Wäre es bei deiner Definition nicht so, dass jedes Element aus einer mehrelementigen Faser zum Kern gehört?


richtig.

@ Gast

Hast Du soweit dein Problem gelößt?
tuxasus Auf diesen Beitrag antworten »

öhm also ich habs noch nicht, den Kern berechne ich normalerweise doch mit Ax = 0 (wie ihr ja gesagt habt) aber das wäre ja ne normale Auflösung des homogenen LGS nach Gauß ...

dann würde es mich interessieren wie ich dann bei der Matrix

(-1 2 -1)
A = 1/3 (-1 -1 2)
( 2 -1 -1)

auf den Kern {t (1/1/1)T : t e R}
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

na dann schreib doch mal das lineare gleichungssystem hin und löse es mit gauss...
du wirst feststellen das zwei von den drei gleichungen genau gleich sind, also kann man die letzte von den drei variablen frei wählen und wählt dann zb mit
und dann einfach ganz normal lösen, als stünde da statt irgendeine zahl...
dein lösungsvektor ist dann eben genau
mit
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