Integration einer Wurzelfunktion

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Ersti Auf diesen Beitrag antworten »
Integration einer Wurzelfunktion
Hi

Kann mir bitte jemand einen Hinweis geben, wie ich folgende Funktionen intergrieren könnte?
Sind beide ähnlich...d.h., wenn ich wüsste, wie eine zu machen ist, würde ich die andere auch hinbekommen smile

f(x) = Wurzel(36 - 1764*x^2)

oder / und

f(x) = Wurzel(x^2 - 8*x + 32)


Ich weis nicht, ob ich hier richtig bin...könnte auch sein, dass dies ins Themengebiet "Höhere Mathematik" gehört.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zu ersten: Substituiere zuerst y = 42x, dann z = (1/6)y und zuletzt z = sin(t). Dann bekommst du ein lösbares Integral heraus.
Bei der zweiten machst du es genauso, nur dass du am Ende keine trigonometrische, sondern eine hyperbolische Funktion nimmst.
Harry Done Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ersti,

die zweite Aufgabe kannst du etwas umschreiben:

jetzt kannst du genauso substituieren wie bei der ersten Nummer.
Allerdings nicht sin(t) sondern sinh(t).

Gruß Jan
Ersti Auf diesen Beitrag antworten »

Also dass mit dem y = 42x leuchtet mir noch ein...aber was mir z= (1/6)y bringen soll und z = sin(t) zu substituieren (oder sollte es t = sin(z) heissen?)?

Und warum soll dann Wurzel(36 - sin(7x)) ein lösbares Integral sein?

Und woher weis ich, wann ich eine hyperbolische und wann eine trigonometrische Funktion nehmen muss ? *verwirrt*

Könntest du das mir bitte etwas genauer erläutern?

thx
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte mach doch erstmal die erste Aufgabe soweit wie es geht mit meiner Anleitung, die ich dir gab. Schreib das auch hier rein. Dann frag nochmal.
Ersti Auf diesen Beitrag antworten »

y=42x

Wurzel(36 - y^2)

z=(1/6)y

Wurzel(36 - (6z)^2)

z=sin(t)

Wurzel(36 - (6*sin(t))^2)

Wurzel(36 - 36 * sin^2(t))

6* Wurzel(1 - sin^2(t))


Integrieren:

6* Integral(1 - sin^2(t))

6* (Integral(1) - Integral(sin^2(t)))

6x - 6 Integral(sin^2(t))

weiter komm ich grad nicht


...Hab noch in ner Formelsammlung gefunden: f(x) = sin^2(x) ; F(x) = 0,5(x - sinx * cosx)

6x - 3(t - sint * cost)

stimmt dass soweit?
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ersti
y=42x

Wurzel(36 - y^2)

z=(1/6)y

Wurzel(36 - (6z)^2)


STOP! Richtig. Bitte rechne das jetzt nochmal aus. (6z)^2 = ???
Ersti Auf diesen Beitrag antworten »

(6z)^2 = 36*z^2...oder nicht?

und dann z = sin(t) substituieren:

36*sin(t)^2 = 36* sin^2(t)

genau dass hab ich doch?

Ich steh glaub auf dem Schlauch, weil ich schon das ganze WE nur Mathe gemacht habe smile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ersti
(6z)^2 = 36*z^2...oder nicht?


Genau. Und deshalb ist auch

Ersti Auf diesen Beitrag antworten »

y=42x

Wurzel(36 - y^2)

z=(1/6)y

Wurzel(36 - (6z)^2)

z=sin(t)

Wurzel(36 - (6*sin(t))^2)

Wurzel(36 - 36 * sin^2(t))

6* Wurzel(1 - sin^2(t))


Dass hab ich doch hier auch stehen gehabt...nur dass ich z=sin(t) schon substituiert hab...Rücksubstitution würde dein Ergebnis ergeben:

6* Wurzel(1 - sin^2(t)) = 6* Wurzel(1 - z^2)

Wo ist da der Fehler?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist kein Fehler. Sorry, hatte sin(2t) anstatt sin^2(t) gelesen. Also, du hast jetzt

6* Wurzel(1 - z^2).

Jetzt setzt du z = sin(t). Dann musst du noch dz/dt berechnen und dann für dz im Integral einsetzen. Weiter musst du noch wissen, dass sin^2 + cos^2 = 1.
Ersti Auf diesen Beitrag antworten »

Also sin^2(t) abgeleitet ist: 2*sin(t)*cos(t)

dass mit sin^2+cos^2 = 1 ist mir bewusst...aber ich weis nicht genau, was ich mit deinem Hinweis "dann für dz im Integral einsetzen" anfangen soll.

aber schon mal danke, für deine Bemühungen bisher smile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Du scheinst mir nicht substituieren zu können. Dann fangen wir eben nochmal von vorne an.



Da hatten wir mit y = 42 * x substituiert. Damit ist



also dx = dy/42. dy/dx ist die Ableitung von y nach der Variablen x. Im Integral musst du noch dx durch dy/42 ersetzen:



Das machst du genauso bei der zweiten und dritten Substitution.
Ersti Auf diesen Beitrag antworten »

z = (1/6)y

dz/dy = 1/6

dy = dz * 6

Integral{(Wurzel(6^2 - (6*z)^2))*6/42} dz

Integral{(Wurzel(6^2 - (6*z)^2))/7} dz


z = sin(t)

dz/dt = cos(t)

dz = cos(t) * dt

Integral{(Wurzel(6^2 - (6*sin(t))^2))*cos(t)/7} dt

Integral{(Wurzel(36 - 36 * sin(t)^2))*cos(t)/7} dt

Integral{6*(Wurzel(1 - sin(t)^2))*cos(t)/7} dt

meintest du so?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Genau! Super! Und was ist jetzt 1-sin^2 ???
Ersti Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verpacks heut nimmer...soweit ist mir jetzt einiges klar geworden...aber trotzdem komm ich auf keinen grünen Punkt.

Meinst du, was 1-sin^2(t) integriert ist?

t - 0,5 (t - sin(t)*cos(t))

oder was sonst?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

sin^2 + cos^2 = 1.
Ersti Auf diesen Beitrag antworten »

Ah jetzt ja smile

Ich hatte heut echt n Brett vor dem Kopf smile Jetzt bekomm ichs vollends hin.

vielen Dank für deine Geduld.


mfg Ersti
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem. Hauptsache ist, du hast es geschnallt. Tanzen
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