Problem mit Beweisen

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Jens aus B Auf diesen Beitrag antworten »
Problem mit Beweisen
Ich möchte mein Problem kurz erläutern und somit ein wenig Verständnis für mich als Hilfe Suchenden schaffen:

Ich bin seit kurzem Student der Universität Essen und studiere Lehramt für den Bereich Grundschule, mit dem Schwerpunkt Deutsch. Ich bin gezwungen ein didaktisches Grundstudium für den Bereich Mathe zu belegen. Nach meiner ersten Vorlesung in diesem Bereich, musste ich feststellen, dass dieses von den Anforderungen fast identisch mit dem Fachstudium ist. traurig
Da ich Mathe in meiner Schullaufbahn auf Grund einiger Meinungsverschiedenheiten mit der unterrichtenden Lehrkraft so früh wie möglich abgewählt habe, fehlt mir nun der Zugang zu den sehr theoretischen Aufgaben der Hausarbeiten.
Ich arbeite mich zwar so gut wie eben möglich in das Thema ein, wäre trotzdem für Hilfe in jeglicher Form sehr dankbar (Buchtipps, .Denkanstösse, Lösungen etc.)

Hier einige Beispiele der zu bearbeitenden Aufgaben:

Aufgabe 1:
Beweisen sie mit vollständiger Induktion für alle nÎN

a)1+2+3+4+…+ n= (n*(n+1)):2



b)1+3+5+….+(2*n-1)=n²

Aufgabe 2:
Beweisen sie für alle n Î N: 2+4+6+…..+2*n=n²+n.

*=multiplizieren
Î =Element (das Symbol funktioniert nicht)
Text wurde mit Word geschrieben.

Gruß Jens aus B
mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Jens aus B,
machen wir mal Aufgabe 1:
Vollständige Induktion:
etwas gilt für eine natürliche Zahl(Induktionsanfang)
Dies gilt auch für den Nachfolger jeder nat. Zahl(Induktionsschritt)
Damit gilt es für alle nat. Zahlen ab der die für den Induktionsanfang genommen wurde.
In der Aufgabe

würde man als Induktionsanfang die 1 nehmen

Ok das gilt also nun versucht man zu zeigen wenn

dann kann man daraus schließen dass

Sprich wenn's für den Vorgänger(n) gilt dann gilt's auch für den Nachfolger(n+1)
Im Beispiel:

Alles klar?
gruß
mathemaduenn
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Vollständige Induktion funktioniert immer nach demselben Muster:


1+2+3+4+…+ n= (n*(n+1)):2

1.) Induktionsanfang: Hier muss man die Gleichung für das erste Element verifizieren.


2.) Induktionsvoraussetzung: Man nimmt an, die Gleichung gelte für ein n aus den Natrülichen Zahlen. Dieses n muss feststehen, darf aber beliebig gewählt werden.



3.) Induktionsschluss: Man geht nun über auf n+1 und versucht, die Induktionsvoraussetzung (oder Induktionsannahme) einzusetzen.


therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Schau doch erstmal hier: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=1533 Augenzwinkern

Gruß, therisen
Jens aus B Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen, vielen Dank. Habe eure Ausführung mit Freude und vor allem mit Verständnis gelesen. Es ist für mich wirklich nicht einfach (jeder hat seine Stärken und Schwächen), doch dank eurer anschaulichen Darstellung bin ich in einen GROßEN Schritt weiter.
Allerdings gibt es noch einige Probleme bei denen ihr, sofern es eure Zeit zulässt und ihr mögt, mir ein wenig Hilfestellung geben könnt.

Aufgabe 3)
Beweisen oder wiederlegen Sie durch ein Gegenbeispiel die folgenden Aussagen.
Für alle x,y,z T Z gilt:

a) 8/X à 4/X

( scheint mir simpel: wenn eine Zahl durch 8 Teilbar ist, muss diese auch durch 4 teilbar sein, weil 4 die Hälfte von 8 ist. Aber wie sieht der Mathematische Beweiß aus?)


b) 2/X à 4/X

( Gegenbeispiel: 2/6 à 4/6 Falsch. Aber kann man das so schreiben.



c) 100/X à 4/X und 50/X

( scheint ähnlich logisch wie a) allerdings auch Ähnliches Problem.



Schon mal vor ab Danke
Gruß: Jens
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Mach dir klar, was Teilbarkeit bedeutet. Wie kannst du mathematisch ausdrücken, dass n durch 8 teilbar ist? Du brauchst dazu eine Formulierung wie "Es gibt eine ganze Zahl x, so dass...[]". In [] kommt eine einfache Gleichung rein.
 
 
Jens aus B Auf diesen Beitrag antworten »

Also reicht ein einfacher Satz hier aus?
(ich meine Satz im Sinne von aneinandergereiten Worten?) verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Beantworte meine Frage, anstatt neue zu stellen. Trotzdem antworte ich dir: ja, fast.
Jens aus B Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ein wenig probiert. Das ist dabei raus gekommen:

A 3) Beweisen oder wiederlegen Sie durch ein Gegenbeispiel die folgenden Aussagen.
Für alle x,y,z E Z gilt:




a) 8/X --> 4/X

Verallgemeinert: a/X --> b/x
Vorausgesetzt: a=2b --> b=a:2
Schlussfolgerung: a/X --> b/X

Diese Behauptung ist wahr, da 8 in vielfaches von 4 ist und 4 als Faktor enthält. Wenn also wie vorausgesetzt 8/X teilt, teilt auch 4/X . q.e.d.



b) 2/X --> 4/X


Diese Behauptung ist unwahr.

Gegenbeispiel: X=2

2/2 --> 4/2
2:2 --> 2:4

Das Ergebnis von 2:4 lautet: 0,5 0,5 ist nicht E Z
q.e.d




c) 100/X--> 4/X und 50/X

Diese Behauptung ist wahr, da jede Zahl aus der Reihe 100,200.300 …. die Faktoren 4
und 50 Enthält.

Beispiel:
100/X --> 4/X und 50/X --> 25*4=100 und 2*50=100


Allgemein:
a/X--> b/X und c/X --> m1*b=a und m2*c=a

Wenn es also ein Vielfaches der Zahl b gibt das a ergibt und ein Vielfaches der Zahl c gibt, dass a ergibt, kann man sagen, das a/X b/X und c/X. q.e.d.

E=Element( keine Ahnung wie ich das Symbol hier rein bekomme)

gruß von Jens aus B
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Mach dir klar, was Teilbarkeit bedeutet. Wie kannst du mathematisch ausdrücken, dass n durch 8 teilbar ist? Du brauchst dazu eine Formulierung wie "Es gibt eine ganze Zahl x, so dass...[]". In [] kommt eine einfache Gleichung rein.


Das solltest du nochmal beherzigen. Hast du schon darüber nachgedacht?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

in Gedanken bist du auf dem richtigen Weg, nur noch nicht
ganz 'korrekt' aufgeschrieben

a) 8|X --> 4|X
(etwas anders geschrieben: 2*4|X --> 4|X)

2*4|X bedeutet, es existiert ein Teiler T sodass gilt
2*4*T = X ....... (nichts anderes als umgesetzte Teilereigenschaft)

Nun kannst diese Gl mit 1/4 durchmultiplizieren
1/4*2*4*T = 1/4 * X

2*T = 1/4 * X

weil 2*T eine ganze Zahl ist muss auch 1/4 *X eine ganze Zahl sein
was nichts anderes bedeutet als dass X durch 4 teilbar ist.


b) 2/X --> 4/X
Angabe eines EINZIGEN Gegenbeispiels reicht, insofern richtig


c) 100/X--> 4/X und 50/X
das versuchst nun mal in dem Dreh von oben abzufassen ...
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

@Poff: Darauf sollte er selber kommen!
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

@WebFritzi,

da war er doch schon drum und dran, das lässt sich doch versteckt
aus seiner Darstellung rauslesen. In Gedanken hat er zumindest
entfernt damit gearbeitet, ABER auf die brauchbare mathematische
Umsetzung kommst damit so ohne weiteres NICHT wenn du dich
noch nie intensiver damit befasst hast und solches auch noch 'nie'
bewusst gesehen hast und auch noch nie praktiziert hast ....

das ist meine feste Meinung. Insofern braucht er AUCH 'eine'
vorgeführte Abhandlung.

Bin sicher er hat noch genug damit zu tun das eingermaßen sauber
im Fall c umzusetzen . Augenzwinkern
.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff
In Gedanken hat er zumindest entfernt damit gearbeitet, ABER auf die brauchbare mathematische Umsetzung kommst damit so ohne weiteres NICHT wenn du dich noch nie intensiver damit befasst hast.


Da hast du recht. Aber er hatte doch schon einen Hinweis dahingehend, denn ich schrieb bereits

Zitat:
Mach dir klar, was Teilbarkeit bedeutet. Wie kannst du mathematisch ausdrücken, dass n durch 8 teilbar ist? Du brauchst dazu eine Formulierung wie "Es gibt eine ganze Zahl x, so dass...[]". In [] kommt eine einfache Gleichung rein.


Ben Sisco hat das ganze nochmal zitiert... Ich denke, er hatte so genug Anhaltspunkte.
Jens aus B Auf diesen Beitrag antworten »

Habe immer noch extrem Schwirigkeiten mit Aufgabe1a) und 2)

A1b)

1+3+5+...+(2*n-1)=n²


A)
Zeigen sie für alle nE N:
2+4+6+...+2*n=n²+n

wäre nett, wenn jemand ein Zahlenbeispiel hätte. meine gehen nicht auf. Danke schon mal für die anderen Tips. smile
LittleDi Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit
Hi Jens
Sitz mit Dir in der selben Mathevorlesung und bin auch noch nicht wirklich weiter!!!

Es wäre doch mal nett, wenn einer dieser hochintelligenten Wesen Tipps geben könnte, womit auch ein Anfänger was anfangen könnte.

Wir sind nun mal nicht alle mit einem Mathehirn zur Welt gekommen.


Gruß
LittleDi
Jens aus B Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist wohl richtig. aber ich denke nach dem Semester hab ich ansatzweise so ein Mathehirn, sonst geh ich ins Kloster.
Hammer

vieleicht bringt Ja die nächste Übung etwas.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Jens
Deine Zahlenbeispiele gehen nicht auf? Du musst doch nur richtig einsetzen. Nehmen wir mal n=9:

1+3+5+7+9+11+13+15+17=81=9²

stimmt. Und für das andere auch n=9:

2+4+6+8+10+12+14+16+18=90=9²+9

stimmt auch. Wo hast du denn genau Probleme? Hast du denn die vollständige Induktion überhaupt jetzt schon verstanden?
Die zweite Aufgabe geht übrigens auch ganz leicht ohne Iduktion mit der Formel aus 1a) Augenzwinkern
Jens aus B Auf diesen Beitrag antworten »

Augenzwinkern Ok. es geht auf. Aber wie formuliere ich das als Alg. Beweiß?
ich weiss, dass müste ich mir eigentlich ableiten können, jedoch wie gesagt, studiere ich ja eigentlich Deutsch. Habe noch nicht den Bezug zu Formeln. (Aber ich arbeite dran)

Schon mal Danke für das Zahlenbeispiel. Augenzwinkern
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Jens (und andere LittleDi Augenzwinkern )

Zitat:
Original von Jens aus B
Aber wie formuliere ich das als Alg. Beweiß?


Mit der vollständigen Induktion. Es wurde dir doch in den ersten Posts des Threads schon vorgeführt. Tobias hat dir ja die 1a) schon vorgerechnet. Versuch nun die Schritte der Induktion zu übertragen auf die anderen Aufgaben und poste deine Versuche!

Hast du denn das Prinzip der Induktion verstanden?

Gruß vom Ben
Jens aus B Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. neue Woche neues Probblem.
In aller kürze:
Prüfen sie, ob:

a) 17/(18hoch48 -1)

b9/(8hoch137 +1)

tja das ist das Problem, wie immer bin ich für Hilfe jeglicher Art sehr dankbar.
Gruß Jens
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Jens
Die Frage hast du doch schonmal gestellt! Ich hab das nach Algebra verschoben, weil 1. für neue Fragen neue Themen aufgemacht werden sollen und 2. das nicht unbedingt HöMa ist. Augenzwinkern

Hier gehts zu dem Thread Augenzwinkern
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