Integration, Grenzprozess

13.10.2004, 18:44

Dichtling

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Integration, Grenzprozess

f(x)= (x^2)+1
ges.: 0(Integralzeichen)b f(x)dx

Mit dem Grenzprozess soll diese Funktion berechnet werden.

Ich bekomme dafuer b+(b^3/3) raus
und daraus schliesse ich, dass a(Integralzeichen)b f(x)dx
dann b+(b^3/3)- a+(a^3/3) sein muss.

Ist das korrekt?

MfG

13.10.2004, 19:02

Mathespezialschüler

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RE: Integration, Grenzprozess
Wenn du Klammern setzt:

$\begin{eqnarray*} b+\frac{b^3}{3}-\left(a+\frac{a^3}{3}\right) \end{eqnarray*}$

dann ist es richtig!

13.10.2004, 19:04

lupo1977

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Was meinst Du denn mit Grenzprozess?
Soweit ich sehe hast du die Stammfunktion richtig gebildet und dann die Grenzen b und 0 eigesetzt.

Falls die Grenzen a und b sind hast du einen kleinen Vorzeichenfehler gemacht.

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}x^2+1 dx=\frac{b^3}{3}+b-\left(\frac{a^3}{3}+a\right) \end{eqnarray*}$

da ja

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) \end{eqnarray*}$ .

Ansonsten ist das schon ok. Kann es sein das Du mit Grenzprozess den Übergang von Summen zum Integral meinst?

edit:

ups, tschuldigung...

editedit:

Wegens doppelten Post. Du hast die Frage ja schon beantwortet.

13.10.2004, 19:08

Mathespezialschüler

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@lupo1977
Wofür entschuldigst du dich? verwirrt

verwirrt

Augenzwinkern

13.10.2004, 19:17

Dichtling

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danke, is oben mein fehler gewesen Augenzwinkern

Augenzwinkern

ist mir klar, dass ich den 'a-komplex' ganz vom 'b-komplex' subtrahieren muss.
Was mich allerdings stutzig macht ist, dass wenn man die gleiche aufgabenstellung auf f(x)=2x^2 anwendet, der unterschied nur darin besteht, dass es anstatt a und b jeweils das doppelte (also 2a u. 2b) ist.
In was geht die '+1' in der ersten Funktion denn dann ein?
Ich hoffe, ihr versteht mein 'problem' Augenzwinkern

Augenzwinkern

MfG

13.10.2004, 19:25

Mathespezialschüler

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Also ich kann dein Problem nich ganz verstehen. Was hast du denn raus bei f(x)=2x²??

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13.10.2004, 19:54

Dichtling

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fuer f(x)=2x² kommt bei mir
f(x)dx = (2b+(b^3)/3) - [2a+(a^3)/3] heraus und bei
f(x)=x²+1 --> b+(b^3/3)-[a+(a^3/3)]

Was 'aendert' die '+1' in der 2ten Funktion? Fuer nur x² wuerde das ja auch rauskommen...

13.10.2004, 19:58

Mathespezialschüler

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Das, was du für 2x² hast, is falsch. Wie bist du denn darauf gekommen?

13.10.2004, 20:05

Dichtling

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oehm, eigtl genau wie bei der anderen aufgabe :/
(b/n)[2*n+(b²/n²)(1²+2²+3²+...+n²)]
--> komme im Integral [0;b] dann auf 2b+(b³/3) wenn ich gegen unendlich gehe
und schliesse daraus, dass das Integral [a;b] dann das vorher genannte sein muss.

MfG

13.10.2004, 20:09

Mathespezialschüler

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Und woher nimmst du das 2n? Es muss doch hier heißen:

(b/n)[((2b)²/n²)(1²+2²+3²+...+n²)]

13.10.2004, 20:18

Dichtling

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Naja, ich muss doch die 2 noch n-mal multiplizieren, damit sie nicht verloren geht (2x²)
(b/n)[2*n ...] aufgeloest: 2b
wo nimmst du denn die 2b her, bevor dud ie klammer aufgeloest hast?

MfG

13.10.2004, 20:46

Mathespezialschüler

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Also wenn man die x-Achse von 0 bis b in n Streifen teilt und dann in diesen Intervallen die Obersumme bildet, braucht man die Summe der Rechteckflächen. Ein Rechteck wird berechnet mit Breite*Länge. Die eine Seite ist immer $\begin{eqnarray*} \frac{b}{n} \end{eqnarray*}$ , die andere $\begin{eqnarray*} f\left(\frac{kb}{n}\right) \end{eqnarray*}$ mit k von 1 bis n. Die Summe ist dann

$\begin{eqnarray*} \frac{b}{n}\cdot 2\cdot \left(\frac{1\cdot b}{n}\right)^2+\frac{b}{n}\cdot 2\cdot \left(2\cdot \frac{2\cdot b}{n}\right)^2+\dots+\frac{b}{n}\cdot 2\cdot \left(2\cdot \frac{(n-1)\cdot b}{n}\right)^2+\frac{b}{n}\cdot 2\cdot \left(2\cdot \frac{n\cdot b}{n}\right)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{b}{n}\cdot 2\cdot \frac{b^2}{n^2}\cdot 1^2+\frac{b}{n}\cdot 2\cdot \frac{b^2}{n^2}\cdot 2^2+\dots+\frac{b}{n}\cdot 2\cdot \frac{b^2}{n^2}\cdot (n-1)^2+\frac{b}{n}\cdot 2\cdot \frac{b^2}{n^2}\cdot n^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2\cdot \frac{b^3}{n^3}\cdot (1^2+2^2+\dots+(n-1)^2+n^2) \end{eqnarray*}$

Is dir das verständlich? Jetzt kannst du ja die Formel einsetzen und weiterrechnen...

13.10.2004, 21:05

Dichtling

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einmal hab ich vergessen die 2 zu quadrieren - ok
das anderemal ist mir deine darstellung verstaendlich;
du hast am ende aber ein Produkt stehen, wobei es doch '+' heißen muss; ergo 2b + b³/3 wenn man den limes gg unendlich geht
oder lieg ich da falsch?
ich habe b/n ausgeklammert gelassen und dann [2n+ (b²/n²)(1²+2²+3³+...+n²)
wenn ich klammer aufloese kuerzt sich das n bei 2 weg und ich habe 2b und (b³/n³) *Term*

MfG

13.10.2004, 21:08

Dichtling

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sorry 4 spam, aber hab fehler gem8 und kann nicht editieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

die 2 darfst du doch gar nicht quadrieren, ist ja nicht (2x)²;
das anderemal ist mir deine darstellung verstaendlich;
du hast am ende aber ein Produkt stehen, wobei es doch '+' heißen muss; ergo 2b + b³/3 wenn man den limes gg unendlich geht
oder lieg ich da falsch?
ich habe b/n ausgeklammert gelassen und dann [2n+ (b²/n²)(1²+2²+3³+...+n²)
wenn ich klammer aufloese kuerzt sich das n bei 2 weg und ich habe 2b und (b³/n³) *Term*

MfG

13.10.2004, 21:19

Mathespezialschüler

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Also das mit der 2 war wirklich mein Fehler, sorry!
Aber wie kommst du denn auf deine 2n? Ich hab doch jetzt auch b^3/n^3 ausgeklammert. Rechne doch mal meine Rechnung zu Ende! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn du trotzdem noch auf 2n+... kommst, dann zeig mal wie!

13.10.2004, 21:32

Dichtling

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du musst da noch was mit 'der 2' ausbessern Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du klammerst die b/n ja nicht aus;
ich klammer sie aus und habe dann:
(b/n)*[2*n(ich muss natuerlich die 2 n-malnehmen, weil sie ja vor jedem der n'ten summanden steht) +(b²/n²)*[((n+1)(2n+1))/6]

wenn ich dann die klammer aufloese hab ich
2b+ (b³/n³)*(Term)

ich tausche die 6 im nenner mit der 'n³' und kuerze das 'n' im zaehler mit einem vom 'n³' -->n²
2b+ (b³/6)*[(n+1)/n]*[(2n+1)/n]
dann geh ich mit dem limes gegen unendlich und habe hinten *1*2 stehen

daraus folgt: 2b+(b³/3)

MfG

13.10.2004, 21:35

Mathespezialschüler

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Warum musst du die 2 n-mal nehmen? Die 2 ist doch ein Faktor bei allen, die kannst du also auch ausklammern!! Zeig doch nochmal genau deinen Rechenweg und zwar jeden Schritt Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.10.2004, 21:45

Dichtling

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is klar, die 2 koennte ich auch anfangs ausklammern.
Wenn ich das taete, kaeme ich tatsaechlich auf 2(b³/n³)
ist im endeffekt verstaendlich, dass die 2 nicht addiert werden kann, da sie ja als faktor davor steht;
nur hab ich das bei der Aufgabe davor genauso gem8 und da hieß es ja, es sei richtig -_-´

13.10.2004, 21:49

Mathespezialschüler

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Zeig mal, wie du es bei der Aufgabe davor gemacht hast!
Und was hast du jetzt eigentlich für 2x² raus?

13.10.2004, 21:50

Dichtling

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Zitat:

Original von Dichtling
f(x)= (x^2)+1
ges.: 0(Integralzeichen)b f(x)dx

Mit dem Grenzprozess soll diese Funktion berechnet werden.

Ich bekomme dafuer b+(b^3/3) raus
und daraus schliesse ich, dass a(Integralzeichen)b f(x)dx
dann b+(b^3/3)- a+(a^3/3) sein muss.

Ist das korrekt?

MfG

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wenn du Klammern setzt:

$\begin{eqnarray*} b+\frac{b^3}{3}-\left(a+\frac{a^3}{3}\right) \end{eqnarray*}$

dann ist es richtig!

Aber da ist es ja auch eine Summe und da habe ich auch 1*n stehen gehabt -.- *confused* verwirrt

verwirrt

13.10.2004, 21:52

Dichtling

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komem nach deiner rechnung bei 2x² auf 2(b³/3)

13.10.2004, 21:54

Mathespezialschüler

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Naja, bei dieser Funktion hattest du doch auch noch ein "+1" und genau das hat das b und das a bewirkt Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit: Das, was du raushast, ist richtig!

13.10.2004, 21:55

Dichtling

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logische erkklaerung Hammer

Hammer

Zitat:

Original von Dichtling
komme nach deiner rechnung bei 2x² auf 2(b³/3)

ist das also dann richtig? Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! Danke! (MSS) Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.10.2004, 22:02

Mathespezialschüler

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Ja, es ist richtig. Freude

Freude

Übrigens kannst du auch deine Beiträge editieren, damit du Doppelposts vermeidest. Dann kannst du auch die Beiträge bearbeiten.
Übrigens kannst du dich ja hier mal vorstellen, wenn du möchtest Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.10.2004, 22:27

Dichtling

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werd ich mal machen, wenn ich nich grad vor ner arbeit steh Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen Dank und respekt ;>

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