Extremwert

14.10.2004, 22:35

GhostOfWar

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Extremwert

Hallo!
Einem Kreis soll ein Dreieck mit maximaler Flächeninhalt einbeschrieben werden. Dazu hab ich mit meiner Methode (zweites Bild, also Höhe des Dreiecks gleich y+r) auf $\begin{eqnarray*} x*(\sqrt{r^2-x^2}+r) \end{eqnarray*}$ gekommen. Im Lösungsbuch (erstes Bild) ist aber die Formel $\begin{eqnarray*} (r+x)*\sqrt{r^2-x^2} \end{eqnarray*}$ . Wieso ist meine Formel falsch? unglücklich

unglücklich

14.10.2004, 22:46

Mathespezialschüler

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RE: Extremwert
Deine ist nicht falsch. Du hast halt nur ne andere Bezeichnung gewählt und nach der anderen Variablen umgestellt.Für y wirst du dann das rausbekommen, was die für x haben ...

14.10.2004, 22:48

GhostOfWar

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RE: Extremwert
Bist du sicher? Ich hab ein paar Zahlen und nicht das gleiche bekommen verwirrt

verwirrt

14.10.2004, 23:06

Mathespezialschüler

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RE: Extremwert
Dann sag doch mal, was du raushast und was das Buch sagt!?

16.10.2004, 20:45

GhostOfWar

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RE: Extremwert
Also für r=1 mit x=0.5:
$\begin{eqnarray*} 0.5(\sqrt{1-0.5^2}+1)=0.93 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1+0.5)\sqrt{1-0.5^2}=1.29 \end{eqnarray*}$
Ich hab auch die Extrempunkte bestimmt aber die sind nicht gleich. Natürlich hab ich ne andere Beziehung gewählt aber die Funktion hängt ja von x ab. Hilfe

Hilfe

16.10.2004, 20:56

Poff

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RE: Extremwert
Lösung gleichseitiges Dreieck mit Seite a

a = sqrt(2*r^2 -2*r^2*cos(120°)) = sqrt(2*r^2+r^2) = r*sqrt(3)

so würd ich das mal 'schätzen' OHNE das durchgerechnet zu haben

kannst ja mal prüfen ob das mit deinem x,y Klimbimm zusammen-
passt, denn abgesehen von einem Rechenfehler kann das von mir
ermittelte kaum falsch sein.

Die Fläche ist weiter auch kein Thema

F = 1/4 * Seite^2 * sqrt(3) bzw. F = ...

Augenzwinkern

Augenzwinkern

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16.10.2004, 21:46

kikira

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RE: Extremwert
Also:

die halbe Basisseite des Dreiecks hab ich mit y bezeichnet, die Höhe des Dreiecks mit x + R(Kugel).

HB: A = y mal (x +R) >> max.

NB: x² + y² = R²
y² = R² - x²
y² = squrt(R² - x²)

in HB:

A(x) = sqrt(R² - x²) * (x + R)
A(x) = sqrt[ (x + R)² * (R² - x²)]
f²(x) = (x + r)² * (R² - x²)
f²'(x) = 2 * (x + R) * (R² - x²) + (x + R)² * (-2x)

das 0 setzen und (x + R) herausheben:

(x + R) * [ 2(R² - x²) - 2x( x + R)] = 0

x + R = 0
[ x = -R ] >> keine reelle Lösung

oder
2(R² - x²) - 2x (x + R) = 0
....
x² + (Rx)/2 - R²/2 = 0

x1 = R/2 >> reell
x2 = - ... >> nicht reell

Amax = [3 R² * sqrt(3)]/ 4

lg
kiki

16.10.2004, 22:10

Poff

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RE: Extremwert
Amax = [3 R² * sqrt(3)]/ 4

richtig, dann wird der Rest auch stimmen *g*
.

16.10.2004, 22:10

kikira

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RE: Extremwert
So! Hab das obrige schnell verbessert, weil ich da Tippfehler hatte...und ich nirgends einen Button find, wo man seinen Beitrag ändern kann..

Zitat:

Original von kikira
Also:

die halbe Basisseite des Dreiecks hab ich mit y bezeichnet, die Höhe des Dreiecks mit x + R(Kreis).

HB: A = y mal (x +R) >> max.

NB: x² + y² = R²
y² = R² - x²
y = squrt(R² - x²)

in HB:

A(x) = sqrt[(R² - x²)] * (x + R)
A(x) = sqrt[ (x + R)² * (R² - x²)]
f²(x) = (x + R)² * (R² - x²)
f²'(x) = 2 * (x + R) * (R² - x²) + (x + R)² * (-2x)

das 0 setzen und (x + R) herausheben:

(x + R) * [ 2(R² - x²) - 2x( x + R)] = 0

x + R = 0
[ x = -R ] >> keine reelle Lösung

oder
2(R² - x²) - 2x (x + R) = 0
....
x² + (Rx)/2 - R²/2 = 0

x1 = R/2 >> reell >> y = R/2 * sqrt(3)

x2 = - ... >> nicht reell

Amax = [3 R² * sqrt(3)]/ 4

lg
kiki

16.10.2004, 22:38

hummma

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Wenn du dich registrierst kannst du deine Beitraege editieren.

17.10.2004, 01:06

WebFritzi

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Und wer sagt euch, dass das Dreieck mit dem größten Flächeninhalt gleichschenklig ist? Davon seid ihr nämlich alle ausgegangen.

17.10.2004, 01:12

Mathespezialschüler

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@Webfritzi
Wenn du dir eine Seite fest vorgibst, ist der Flächeninhalt genau dann am größten ist, wenn die Höhe auf dieser Seite am größten ist.
Dass das bei Gleichschenkligkeit der Fall ist, dürfte anschaulich klar sein (und da das hier ein schulisches Problem ist, dürfte das reichen).
Wie man erstmal analytisch beweist, dass es gleichschenklig sein muss, muss ich mir noch überlegen.

17.10.2004, 01:26

GhostOfWar

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Ich bin mir nicht so sicher aber ich glaube Poff ist der einzige, der davon ausgegangen ist, dass das Dreieck gleichschenklig sein muss.

17.10.2004, 01:34

kikira

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nein...wir sind alle davon ausgegangen, denn sonst könnte die Höhe nicht mit dem Radius zusammenfallen, weil der Radius ja vom Mittelpunkt ausgeht und nur die Höhe im gleichschenkligen Dreieck durch die Mitte geht.

kiki

17.10.2004, 02:07

Mathespezialschüler

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Der analytische Beweis für die Gleichschenkligkeit ist nicht schwer:

Man wähle zwei Eckpunkte A,B fest auf der Kreisperipherie. Ein dritter Punkt C liege variabel auf der Kreisperipherie, sei aber ungleich A und ungleich B! Ich führe folgende Bezeichnungen ein:

$\begin{eqnarray*} \sphericalangle \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} CAB=:\alpha\ , \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sphericalangle \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ABC=:\beta\ , \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sphericalangle \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} BCA=:\gamma \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c:=\overline{AB} \end{eqnarray*}$

Nach dem Peripheriewinkelsatz ist $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ konstant, egal wo C auf der Peripherie liegt. Man definiere $\begin{eqnarray*} \varphi:=\pi-\gamma \end{eqnarray*}$ , dann gilt stets $\begin{eqnarray*} \alpha +\beta=\varphi \end{eqnarray*}$ . Mit folgender Formel für den Flächeninhalt F des Dreiecks ABC

$\begin{eqnarray*} F=\frac{c^2\cdot \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)}{2\cdot \sin(\gamma)} \end{eqnarray*}$

wird F genau dann maximal, wenn

$\begin{eqnarray*} f(\alpha, \beta):=\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)\ \ \ \mbox{mit}\ \ \ \alpha+\beta=\varphi \end{eqnarray*}$

maximal wird (c und gamma sind ja konstant). Wegen obiger Definition von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ (was wegen gamma konstant auch konstant ist) gilt:

$\begin{eqnarray*} \alpha=\varphi-\beta \end{eqnarray*}$

Damit wird aus f:

$\begin{eqnarray*} g: (0,\varphi) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(\beta):=\sin(\varphi-\beta)\cdot \sin(\beta)=\frac{1}{2}(\cos(\varphi-2\beta)-\cos(\varphi)) \end{eqnarray*}$

letzteres "=" nach der Formel

$\begin{eqnarray*} \sin(\delta)\cdot \sin(\varepsilon)=\frac{1}{2}(\cos(\delta-\varepsilon)-\cos(\delta +\varepsilon)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(\beta)=\sin(\varphi-2\beta)=0 \end{eqnarray*}$

Im Definitionsbereich von g existiert nur eine Lösung, nämlich

$\begin{eqnarray*} \beta=\frac{\varphi}{2} \end{eqnarray*}$

Man prüft leicht nach, dass dies auch das globale Maximum in diesem Intervall ist. Somit ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \end{align*}$\alpha=\varphi-\frac{\varphi}{2}=\frac{\varphi}{2}=\beta$.\hspace*{\fill}$\Box$\begin{align*} \end{eqnarray*}$

17.10.2004, 03:03

Poff

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Zitat:

Original von GhostOfWar
Ich bin mir nicht so sicher aber ich glaube Poff ist der einzige, der davon ausgegangen ist, dass das Dreieck gleichschenklig sein muss.

dass es gleichschenklig sein musste stand nie zur Disposition,
nein ich bin sogar davon ausgegangen, dass die Lösung

DAS Gleich-Seitige sein wird.

Warum ???
Nun warum und wie sollte eine Richtung im Kreis bevorzugt sein ...
.

17.10.2004, 03:27

GhostOfWar

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So viele Antworten hätte ich nicht erwartet...Ich bedanke mich sehr smile

smile

17.10.2004, 03:43

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Poff

Zitat:

Original von GhostOfWar
Ich bin mir nicht so sicher aber ich glaube Poff ist der einzige, der davon ausgegangen ist, dass das Dreieck gleichschenklig sein muss.

dass es gleichschenklig sein musste stand nie zur Disposition,
nein ich bin sogar davon ausgegangen, dass die Lösung

DAS Gleich-Seitige sein wird.

Warum ???
Nun warum und wie sollte eine Richtung im Kreis bevorzugt sein ...
.

Ich glaube, er meinte eher, dass hier alle (vor dem "Maximieren" durch seine Funktion) von einem gleichschenkligen Dreieck ausgingen.
Dass das Dreieck letztendlich gleichseitig sein muss, dürfte klar sein ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.10.2004, 20:15

WebFritzi

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Das hatten wir hier schon mal. Da ging es um ein Parallelogramm.

@MSS: Wieso ist das denn klar? Kannst du das mathematisch begründen? OK, intuitiv ist es vielleicht irgendwie "klar", aber in der Mathematik sollte man sich nicht zu sehr auf die Intuition verlassen.

17.10.2004, 20:21

Mathespezialschüler

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Ich hab ja schon gezeigt, dass es gleichschenklig sein muss. Mit GhostOfWar's Funktion bekommt man durch Ableiten etc., dass es gleichseitig sein muss und da das schon geklärt war, hab ich gesagt, es sei klar Augenzwinkern

Augenzwinkern

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