Summe einer reellen Zahlenfolge

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Calahan Auf diesen Beitrag antworten »
Summe einer reellen Zahlenfolge
Tach zusammen! Bin hier zufaellig reingestolpert und haette da spontan folgendes kleines Problem:
Sei und .
Zeige die Existenz und berechne !
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Und hast du schon ne Idee?
Könntest ja erstmal versuchen, ne explizite Vorschrift für die Folge zu finden!
Wenn du willst, kannst du dich auch hier mal vorstellen Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann nicht stimmen! Man zeigt leicht mit vollständiger Induktion, dass



für alle . Die Reihe kann also nicht konvergieren. Ich kann mir eher vorstellen, dass man die Konvergenz der Folge zeigen soll...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab mal die ersten Folgenglieder berechnet. Weiter will mein TR Brüche nicht anzeigen. Ich finde absolut keine explizite Vorschrift, auch wenn ich allgemein versuche x_n durch die Rekursionsformel auf x_1 zurückzuführen. Vielleicht helfen die ersten Glieder ja:



Findet vielleicht jmd. (damit) eine explizite Formel? verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab's! Die Folge konvergiert gegen 1 - 1/e. Stellt man die Vorschrift um, so erhält man



Aber es ist wieder nach Vorschrift



Also folgt



Induktiv ergibt sich



Schließlich gilt



Und diese Folge konvergiert gegen den genannten Wert.

Lustig ist, dass ich darüber folgende Reihenwerte gefunden habe:



Die letzte Reihe hat sogar eine bessere Performance als die übliche.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht schlecht!! Ich glaub, bei solchen Sachen muss ich noch einiges lernen *g*
Wie biste denn auf



gekommen? (Dass das stimmt, is mir klar, aber wie kommt man auf so ne Teleskopsumme?)

Und wie hase darüber die Reihen erhalten?
Die haste jetzt neu entdeckt wa Big Laugh Hammer
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Wie biste denn auf



gekommen? (Dass das stimmt, is mir klar, aber wie kommt man auf so ne Teleskopsumme?)


Erfahrung, mein Junge... Augenzwinkern


Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Und wie hase darüber die Reihen erhalten?
Die haste jetzt neu entdeckt wa Big Laugh Hammer

Ich hatte zuerst bemerkt, dass die Folge mit nur geraden Indizes monoton steigt und die Folge mit ungeraden Indizes monoton fällt. Wir setzen mal



für n=0,1,... . Dann gilt sofort



also bn > an und bn - an --> 0. Weiter gilt



Somit ist (an) monoton steigend. Genauso zeigt man



Also ist (bn) monoton fallend. Wegen bn > an und bn - an --> 0 haben die beiden Folgen denselben Grenzwert x (der ja 1 - 1/e ist - aber das wusste ich zu dem Zeitpunkt ja noch nicht). Durch Teleskopsummenbildung bekommen wir für an:



was die zweite Reihe ergibt, denn

.

Wieder durch Teleskopsummenbildung erhalten wir für bn:



also



was die erste Reihe darstellt. Zur dritten Reihe: Es ist doch



Jetzt habe ich einfach mal in meinem Analysis-Buch herumgeblättert, um eine ähnliche Reihe zu finden, und ich wurde fündig:



Also ist mit unserer zweiten Summe



denn



Puuh...
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Nicht schlecht!! Ich glaub, bei solchen Sachen muss ich noch einiges lernen *g*


Ja, das sind die Momente, wo man sich denkt, dass man auf so etwas im ganzen Leben nicht allein kommt. Wie WebFritzi aber schon richtig sagt, bringt das die Zeit schon mit sich (natürlich nur die, wo man sich mit Mathe beschäftigt Big Laugh ).

@WebFritzi: Schön, dass du hier auch die Gedankengänge hinter deiner Rechnung erklärt hast, die interessierte Leserschaft (die mindestens aus MSS besteht Augenzwinkern ) kann hier einiges an Methodik lernen. Freude

Gruß vom Ben
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ben Sisko
die interessierte Leserschaft (die mindestens aus MSS besteht Augenzwinkern )


LOL Big Laugh Jo, so siehts wohl aus...
Calahan Auf diesen Beitrag antworten »

100%ig!!! Bin begeistert über das flotte Feedback. Hab erst heute (3 Tage später nach dem Stand der Dinge geguckt. Werde dementsprechend bei Gelegenheit weitere kleine Aufgaben hier posten.

Best,
Calahan
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Sag mal, war das eine Übungsaufgabe? Dir sollte klar sein, dass das hier kein Schuppen ist, in den man seine Aufgaben reinbläst und die Lösung wieder rausbekommt.
Calahan Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt! Das war eine Übungsaufgabe - allerdings im Wintersemester 90/91. Deinen Einwand kann ich nicht nachvollziehen. Wer ohne zu überlegen abkupfern will wird immer einen Weg finden dies zu tun. Außerdem geht's doch darum den Kram zu verstehen und nicht unbedingt alles selber zu rechnen. Mich störts jedenfalls nicht wenn hier aktuelle Übungsaufgaben gepostet werden - wenn sie interessant sind und das Forum somit bereichern...

Peace
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Aber du kannst dir sicher sein, dass so etwas hier nicht nochmal passiert Augenzwinkern
Das war eine absolute Ausnahme, das nächste Mal bekommst du es nicht vorgerechnet, denn 'wir' verfolgen hier die Philosophie, dass der Fragesteller erstmal seine Ideen oder Ansätze postet und wir nur da, wo er nicht weiterkommt, kleine Tipps geben, also wirst du das nächste Mal doch mehr selbständig machen, aber wenn du nicht weiterkommst, helfen wir auf jeden Fall (nur nicht mit Lösungen) smile
Calahan Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte entschuldige falls ich mich nicht klar genug ausgedrückt haben sollte:
Diese Aufgabe befand sich vor 14 Jahren im WS 90/91 auf meinem Aufgabenzettel und wurde damals selbständig von mir gelöst. Wenn ich gelegentlich die Zeit dazu finde beschäftige ich mich ganz gerne mit interessanten Aufgaben aus Infini oder FT, um nicht alles zu vergessen. Dies war auch meine Intention beim posten dieser Aufgabe.

Gruß,
C.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist auch eine Super-Idee. Ich habe hier neulich ebenfalls eine Aufgabe für die anderen reingestellt. Es hat mir auch Spaß gebracht, deine Aufgabe zu lösen. Hast du's denn damals genauso gemacht?
Calahan Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das hab ich.
Wir hatten allerdings als kleine Hilfe in der Übungsgruppe das Stichwort 'Teleskopsumme' mit auf den Weg bekommen, was das Ganze ein wenig erleichtert hat...
Meine alten Unterlagen hab ich leider nicht mehr. Aber auf einigen verstaubten Disketten habe ich vereinzelte tex-files mit weiteren Infini-I Aufgaben gefunden. Die Kettenbruch-Geschichte stammt auch daher.

Gruß,
C.
Jens Eits Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo WebFritzi,
dies ist nur so nebenbei, als Ergänzung. Die Reihen, die du gefunden hast, und eine mehr, sind:






Hammer
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